Question

（本小題滿分7分）如圖，四邊形中，，
平分，交于．

小題1:（1）求證：四邊形是菱形；
小題2:（2）若點是的中點，試判斷的形狀，并說明理由．

Answer 1

小題1:（1），即，又，四邊形是平行四邊形．
（2分）
平分，，    （3分）
又，，，，
四邊形是菱形．
小題2:（2）證法一：是中點，．
又，，，         （5分）
，    （6分）
，．
即，是直角三角形．  （7分）
證法二：連，則，且平分，    （5分）
設交于．
是的中點，．（6分）
，是直角三角形．

分析：（1）根據兩組對邊分別平行證得四邊形AECD是平行四邊形，只需證明四邊形AECD的兩鄰邊相等即可．根據AC平分∠BAD，以及CE∥AD，易證得∠EAC=∠ECA，由此可知AE=CE，即四邊形AECD是菱形；
（2）連DE，DE交AC于F，根據菱形的性質，對角線互相垂直且平分有：DE垂直平分AC，則EF是△ABC的中位線，有EF∥BC，則BC⊥AC，由此可證得△ABC是直角三角形．

解答：（1）證明：∵AB∥CD，即AE∥CD，
又∵CE∥AD，∴四邊形AECD是平行四邊形．
∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，
又∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE，
∴四邊形AECD是菱形；
（2）解：△ABC是直角三角形．
證法一：∵E是AB中點，∴AE=BE．
又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，
∴2∠BCE+2∠ACE=180°，∴∠BCE+∠ACE=90°．
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
證法二：連DE，由四邊形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC，
設DE交AC于F，
∵E是AB的中點，且F為AC中點，
∴EF∥BC．∠AFE=90°，
∴∠ACB=∠AFE=90°，
∴BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．