Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM=4，E為 BC邊上的一個動點（不與B、C重合）．過E作直線AB的垂線，垂足為F． FE與DC的延長線相交于點G，連結DE，DF．.

小題1:求證：ΔBEF ∽ΔCEG．
小題2:當點E在線段BC上運動時，△BEF和△CEG的周長之間有什么關系？并說明你的理由．
小題3:設BE＝x，△DEF的面積為 y，請你求出y和x之間的函數(shù)關系式，并求出當x為何值時,y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

 
小題1:因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以 ····························· 1分
所以
所以
小題2:的周長之和為定值．··········································· 4分
理由一：
過點C作FG的平行線交直線AB于H ，
因為GF⊥AB，所以四邊形FHCG為矩形．所以 FH＝CG，F(xiàn)G＝CH
因此，的周長之和等于BC＋CH＋BH 
由  BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24 ·········································································· 6分
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知   
在Rt△BEF與Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周長是， △ECG的周長是
又BE＋CE＝10，因此的周長之和是24．
小題3:設BE＝x，則
所以 ···························· 8分
配方得：．
所以，當時，y有最大值．···························································· 10分
最大值為．

 略