Question

某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點P在以O(shè)P為半徑的⊙O上運動．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數(shù)學(xué)知識，過點O作OH ⊥l于點H，并測得OH = 4 dm，PQ = 3 dm，OP = 2 dm．解決問題

（1）點Q與點O間的最小距離是      dm；點Q與點O間的最大距離是      dm；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是      分米．
（2）如圖3，小明同學(xué)說：“當(dāng)點Q滑動到點H的位置時，PQ與⊙O是相切的．”你認為他的判斷對嗎？為什么？

（3）①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點P運動到OH上時，點P到l的距離最小．”事實上，還存在著點P到l距離最大的位置，此時，點P到l的距離是      dm；
②當(dāng)OP繞點O左右擺動時，所掃過的區(qū)域為扇形，求這個扇形面積最大時圓心角的度數(shù)．

Answer 1

（1）4    5    6； （2）不對； （3）① 3 ②120°

試題分析：
解：（1）點Q與點O間的最小距離是OH長度，即是4dm；點Q與點O間的最大距離是OP+PQ=5dm；HQ=="3dm," 點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是2HQ=6dm；
（2）不對．
∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且4²≠3² +2²，即OQ²≠PQ² + OP²，
∴OP與PQ不垂直．∴PQ與⊙O不相切．
（3）① 3；
②由①知，在⊙O上存在點P，到l的距離為3，此時，OP將不能再向下轉(zhuǎn)動，如圖3．OP在繞點O左右擺動過程中所掃過的最大扇形就是OP．連結(jié)P，交OH于點D．
∵PQ，均與l垂直，且PQ =，
∴四邊形PQ是矩形．∴OH⊥P，PD =D．
由OP = 2，OD = OHHD = 1，得∠DOP = 60°．
∴∠PO = 120°．
∴ 所求最大圓心角的度數(shù)為120°．

點評：垂線性質(zhì)2：垂線段最短；熟記幾組購股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25.