Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90^o，∠C＝60°，AD＝3cm，BC＝9cm．⊙O的圓心O₁從點A開始沿折線A—D—C以1cm/s的速度向點C運動，⊙O₂的圓心O₂從點B開始沿BA邊以cm/s的速度向點A運動，⊙O₁半徑為2cm，⊙O₂的半徑為4cm，若O₁、O₂分別從點A、點B同時出發，運動的時間為ts.
（1）請求出⊙O₂與腰CD相切時t的值；
（2）在0s＜t≤3s范圍內，當t為何值時，⊙O₁與⊙O₂外切？

Answer 1

（1）秒；（2）3秒

試題分析：（1）先設⊙O₂運動到E與CD相切，且切點是F；連接EF，并過E作EG∥BC，交CD于G，再過G作GH⊥BC于H，即可得到直角三角形EFG和矩形GEBH．由∠C=60°可得∠CGH=30°，即可得到∠FGE=60°．在Rt△EFG中，根據勾股定理可得EG的值，那么CH=BC-BH=BC-EG．在Rt△CGH中，利用60°的角的正切值可求出GH的值，即可求得結果；
（2）因為0s＜t≤3s，所以O₁一定在AD上，連接O₁O₂．利用勾股定理可得到關于t的一元二次方程，解出即可．
（1）如圖所示，設點O₂運動到點E處時，⊙O₂與腰CD相切．過點E作EF⊥DC，垂足為F，則EF=4cm．作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足為H．

由直角三角形GEF中，∠EGF+∠GEF=90°，
又∠EGF+∠CGH=90°，
∴∠GEF=∠CGH=30°，
設FG=xcm，則EG=2xcm，又EF=4cm，
根據勾股定理得：，解得，
則，
又在直角三角形CHG中，∠C=60°，
∴
則EB=GH=CHtan60°=
∴秒；
（2）由于0s＜t≤3s，所以，點O₁在邊AD上．如圖連接O₁O₂，則O₁O₂=6cm．

由勾股定理得，
解得，（不合題意，舍去）．
答：經過3秒，⊙O₁與⊙O₂外切．
點評：解答本題的關鍵是注意用含t的代數式來表示線段的長；同時熟記兩圓外切時圓心距等于兩圓半徑的和.