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2. 變力做功轉換為恒力做功

1．恒力做功：可用公式W=FScosθ直接計算，其中S為力的作用點對地面的位移，θ為力F和位移S之間的夾角。

例1.一個人通過一個動滑輪用恒力拉動物體A，已知恒力為F，與水平地面夾角為θ，如圖，不計繩子的質量和滑輪間的摩擦，當物體A被拉著向右移動了S時，人所做功為(　　)

A、FS　　　　　　　　 B、2FS　

C、FS(1+COSθ)　　 D、無法確定

解析：本例中求“人所做的功”即人用力F作用在繩的端點P所做的功。由圖知，當物體A被拉著向右移動了S時，繩端點P的位移S’=，力F與S’的夾角為，則力F對繩端點P所做的功為，答案選D.

2.已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y ＝4－x²在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長．

例1在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？

解法一：設箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積

　 ．

　 　令　　 ＝0，

解得　 x=0(舍去)，x=40，　 并求得　 V(40)=16 000

由題意可知，當x過小(接近0)或過大(接近60)時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值

答：當x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm³

解法二：設箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積

．(后面同解法一，略)　　　　　

由題意可知，當x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現在極值點處．事實上，可導函數、在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數值

例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最省？

解：設圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR²

由V=πR²h，得，則S(R)= 2πR+ 2πR²=+2πR²

令　 +4πR=0

解得，R=，

從而h====2

即h=2R，　　 因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值

答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省

變式：當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應怎樣選取，才能使所用材料最省？

提示：S=2+h=

V(R)=R=

)=0 ．

例3已知某商品生產成本C與產量q的函數關系式為C=100+4q，價格p與產量q的函數關系式為．求產量q為何值時，利潤L最大？

分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產量乘價格．由此可得出利潤L與產量q的函數關系式，再用導數求最大利潤．　　　

解：收入，

利潤

　　 　　令，即，

求得唯一的極值點

答：產量為84時，利潤L最大

課堂鞏固：

用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．

歸納反思：

合作探究

1.某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是　　　　　 分，其中 　是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm

問題：(1)瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？

　 (2)瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最小？

26. (2005年高考遼寧卷第19題)

已知函數設數列}滿足，數列}滿足

　 (Ⅰ)用數學歸納法證明；

　 (Ⅱ)證明

25. [2008年普通高等學校招生全國統一考試(遼寧卷)數學理科第21題](本小題滿分12分)

在數列中,,且成等差數列,成等比數列.

⑴求及,由此猜測的通項公式,并證明你的結論;

⑵證明:.

24、[廣東省汕頭金山中學2008-2009學年上學期高三期末考試數學(理科)第19題](本題14分)

已知數列滿足，　　　　　　　　　　　　　 .

(1)求證數列　　 是等比數列，并求其通項公式；

(2)設，求數列的前項和；

(3)設，求證：.

23. [廣東省湛江市實驗中學09屆高三第四次月考理科數學試題第21題](本小題滿分14分)

　 已知 數列 滿足a=, a=,且　

　 (1)求數列　 的前n項和。

　(2)試證明.(其中e為自然對數的底數)

(注意：有可能用到的參考結果：ln(1+x)<x,　 x>0 )

22．[浙江省富陽新中2008(上)高三期中考試數學(理科)試卷第20題] (本小題滿分15分)

21．[2009年普通高等學校招生全國統一考試福建省數學理科參考樣卷第14題] 　　

將全體正整數排成一個三角形數陣：按照以下排列的規律，第n 行(n ≥3)從左向右的第3 個數為 　　　　　．

　　 1

2　 3

4　 5　 6

7　 8 　9　 10

…　 　　… 　　…