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1．學習這部分知識的時候，要掌握各種圖形的形狀、作用以及使用規則

3．程序語言

程序語言是將自然語言和框圖所表達的解決問題的步驟用特定的計算機所識別的低級和高級語言編寫而成。特點：能在計算機上執行，但格式要求嚴格。

程序框圖

2．程序框圖

程序框圖是用規定的圖形符號來表達算法的具體過程。

優點是：簡捷形象、步驟的執行方向直觀明了。

描述算法可以用不同的方式。例如：可以用自然語言和數學語言加以敘述，也可以借助形式語言(算法語言)給出精銳的說明，也可以用程序框圖直觀的顯示算法全貌。

1．自然語言

自然語言就是人們日常使用的語言，可以是人之間來交流的語言、術語等，通過分步的方式來表達出來的解決問題的過程。

其優點為：好理解，當算法的執行都是先后順序時比較容易理解；

缺點是：表達冗長，且不易表達清楚步驟間的重復操作、分情況處理現象、先后順序等問題。

2．累加變量的值初始值一般取成0，而累乘變量的初始值一般取成1。

例10．相傳古代的印度國王要獎賞國際象棋的發明者，問他需要什么。發明者說：陛下，在國際象棋的第一個格子里面放1粒麥子，在第二個格子里面放2粒麥子，第三個格子放4粒麥子，以后每個格子中的麥粒數都是他前一個格子中麥粒數的二倍，依此類推(國際象棋棋盤共有64個格子)。請將這些麥子賞給我，我將感激不盡。國王想這還不容易，就讓人扛了一袋小麥，但不到一會兒就沒了，最后一算結果，全印度一年生產的糧食也不夠。國王很奇怪，小小的“棋盤”，不足100個格子，如此計算怎么能放這么多麥子？試用程序框圖表示一下算法過程。

解析：將實際問題轉化為數學模型，該問題就是來求的和

點評：對于開放探究問題，我們可以建立數學模型(上面的題目要與等比數列的定義、性質和公式聯系起來)和過程模型來分析好算法，通過設計算法以及語言的描述選擇一些成熟的辦法進行處理。像上面應用到了等比數列的通項公式和前n項和公式。

題型1：算法概念

例1．下列說法正確的是(　 )

A．算法就是某個問題的解題過程；

B．算法執行后可以產生不同的結果；

C．解決某一個具體問題算法不同結果不同；

D．算法執行步驟的次數不可以為很大，否則無法實施。

解析：答案為選項B；選項B，例如：判斷一個整數是否為偶數，結果為“是偶數”和“不是偶數”兩種；選項A ，算法不能等同于解法；選項C，解決某一個具體問題算法不同結果應該相同，否則算法構造的有問題；選項D，算法可以為很多次，但不可以無限次。

點評：算法一般是機械的，有時需要進行大量的重復計算。只要按部就班去做，總能算出結果。通常把算法過程稱為“數學機械化”。數學機械化的最大優點是它可以借助計算機來完成；實際上處理任何問題都需要算法。如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；再比如申請出國有一系列的先后手續，購買物品也有相關的手續……。

例2．下列語句中是算法的個數為(　 )

①從濟南到巴黎：先從濟南坐火車到北京，再坐飛機到巴黎；

②統籌法中“燒水泡茶”的故事；

③測量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹；

④已知三角形的一部分邊長和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角形的面積。

A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　　 C．3　　　　　　　　 D．4

解析：正確選項為C，③中我們對“樹的大小”沒有明確的標準，無法完成任務，不是有效的算法構造。①中，勾畫了從濟南到巴黎的行程安排，完成了任務；②中，節約時間，燒水泡茶完成了任務；④中，純數學問題，借助正、余弦定理解三角形，進而求出三角形的面積。

點評：算法過程要做到能一步一步的執行，每一步執行的操作，必須確切，不能含混不清，且在有限步后的必須得到問題的結果。

題型2：經典算法

例3．一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數量不少于羚羊的數量就會吃羚羊。該人如何將動物轉移過河？請設計算法？

解析：任何動物同船不用考慮動物的爭斗但需考慮承載的數量，還應考慮到兩岸的動物都得保證狼的數量要小于羚羊的數量，故在算法的構造過程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數量占到優勢，具體算法如下：

算法步驟：

第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回；

第二步：人帶一只狼過河，自己返回；

第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回；

第四步：人帶一只羊過河，自己返回；

第五步：人帶兩只狼過河。

點評：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當的。這就要求我們在寫算法時應精練、簡練、清晰地表達，要善于分析任何可能出現的情況，體現思維的嚴密性和完整性。本題型解決問題的算法中某些步驟重復進行多次才能解決，在現實生活中，很多較復雜的問題經常遇到這樣的問題，設計算法的時候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復，不但可以使得問題變得簡單，而且可以提高工作效率。

例4．這是中國古代的一個著名算法案例：一群小兔一群雞，兩群合到一群里，要數腿48，要數腦袋17，多少小兔多少雞？

解析：求解雞兔的問題簡單直觀，卻包含著深刻的算法思想。應用解二元一次方程組的方法來求解雞兔同籠問題。

第一步：設有小雞x只，小兔y只，則有

第二步：將方程組中的第一個方程兩變乘－2加到第二個方程中去，得到，得到y=7；

第三步：將y=7代入(1)得x=10。

點評：解決這些問題的基本思想并不復雜，很清晰，但敘述起來很煩瑣，有的步驟非常多，有的計算量很大，有時候完全依靠人力完成這些工作很困難。但是這些恰恰是計算機的長處，它能不厭其煩的枯燥的、重復的、繁瑣的工作。但算法也有優劣，我們要追求高效。

題型3：順序結構

例5．寫出通過尺軌作圖確定線段AB一個5等分點的算法。

解析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關系變成已知的比例關系，只要按照規則一步一步去做就能完成任務。

算法分析：

第一步：從已知線段的左端點A出發，任意作一條與AB不平行的射線AP；

第二步：在射線上任取一個不同于端點A的點C，得到線段AC；

第三步：在射線上延AC的方向截取線段CE=AC；

第四步：在射線上延AC的方向截取線段EF=AC；

第五步：在射線上延AC的方向截取線段FG=AC；

第六步：在射線上延AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AB；

第七步：連接DB；

第八步：過C作BD的平行線，交線段AB于M，這樣點M就是線段AB的一個5等分點。

程序框圖：

點評：這個算法步驟具有一般性，對于任意自然數n，都可以按照這個算法的思想，設計出確定線段的n等分點的步驟，解決問題。

例6．有關專家建議，在未來幾年內，中國的通貨膨脹率保持在3%左右，這將對我國經濟的穩定有利無害。所謂通貨膨脹率為3%，指的是每年消費品的價格增長率為3%。在這種情況下，某種品牌的鋼琴2004年的價格是10 000元，請用流程圖描述這種鋼琴今后四年的價格變化情況，并輸出四年后的價格。

解析：用P表示鋼琴的價格，不難看出如下算法步驟：

2005年P=10000×(1+3%)=10300；

2006年P=10300×(1+3%)=10609；

2007年P=10609×(1+3%)=10927.27；

2008年P=10927.27×(1+3%)=11255.09；

因此，價格的變化情況表為：

程序框圖為：

點評：順序結構只須嚴格按照傳統的解決數學問題的解題思路，將問題解決掉。最后將解題步驟 “細化”就可以。“細化”指的是寫出算法步驟、畫出程序框圖。

題型4：條件結構

例7．設計算法判斷一元二次方程是否有實數根，并畫出相應的程序框圖。

解析：算法步驟如下：

第一步：輸入一元二次方程的系數：a，b，c；

第二步：計算△的值；

第三步：判斷△≥0是否成立。若△≥0成立，輸出“方程有實根”；否則輸出“方程無實根”。結束算法。

相應的程序框圖如下：

點評：根據一元二次方程的意義，需要計算判別式△的值。再分成兩種情況處理：(1)當△≥0時，一元二次方程有實數根；(2)當△＜0時，一元二次方程無實數根。該問題實際上是一個分類討論問題，根據一元二次方程系數的不同情況，最后結果就不同。因而當給出一個一元二次方程時，必須先確定判別式的值，然后再用判別式的值的取值情況確定方程是否有解。該例僅用順序結構是辦不到的，要對判別式的值進行判斷，需要用到條件結構。

例8．(1)設計算法，求的解，并畫出流程圖。

解析：對于方程來講，應該分情況討論方程的解。

我們要對一次項系數a和常數項b的取值情況進行分類，分類如下：

(1)當a≠0時，方程有唯一的實數解是；

(2)當a=0，b=0時，全體實數都是方程的解；

(3)當a=0，b≠0時，方程無解。

聯想數學中的分類討論的處理方式。可得如下算法步驟：

第一步：判斷a是否不為零。若成立，輸出結果“解為”；

第二步：判斷a=0，b=0是否同時成立。若成立，輸出結果“解集為R”；

第三步：判斷a=0，b≠0是否同時成立。若成立，輸出結果“方程無解”，結束。

程序框圖：

(2)。設計算法，找出輸入的三個不相等實數a、b、c中的最大值，并畫出流程圖。

解析：算法步驟：

第一步：輸入a，b，c的值；

第二步：判斷a>b是否成立，若成立，則執行第三步；否則執行第四步；

第三步：判斷a>c是否成立，若成立，則輸出a，并結束；否則輸出c，并結束；

第四步：判斷b>c是否成立，若成立，則輸出b，并結束；否則輸出c，并結束。

程序框圖：

點評：條件結構嵌套與條件結構疊加的區別是：

(1)條件結構疊加，程序執行時需依次對“條件1”、“條件2”、“條件3”……都進行判斷只有遇到能滿足的條件才執行該條件對應的操作。

(2)條件結構的嵌套中，“條件2”是“條件1”的一個分支，“條件3”是“條件2”的一個分支，……依此類推，這些條件中很多在算法執行過程中根據所處的分支位置不同可能不被執行。

(3)條件結構嵌套所涉及的“條件2”、“條件3”……是在前面的所有條件依次一個一個的滿足“分支條件成立”的情況下才能執行的此操作，是多個條件同時成立的疊加和復合。

題型5：循環結構

例9．設計一個算法，求的值，并劃出程序框圖。。

解析：算法步驟：

第一步：sum=0；

第二步：i=0；

第三步：sum=sum+2ⁱ；

第四步：i=i+1；

第五步：判斷i是否大于49，若成立，則輸出sum，結束；否則返回第三步重新執行。

程序框圖：

點評：

1．如果算法問題里涉及的運算進行了許多次重復的操作，且先后參與運算的數之間有相同的規律，就可引入變量循環參與運算(我們稱之為循環變量)，應用于循環結構。在循環結構中，要注意根據條件設計合理的計數變量、累加和累乘變量及其個數等，特別要求條件的表述要恰當、精確。

3．幾種重要的結構

(1)順序結構

順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的。它是由若干個依次執行的步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。

見示意圖和實例：

順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執行的，只有在執行完A框指定的操作后，才能接著執行B框所指定的操作。

(2)條件結構

如下面圖示中虛線框內是一個條件結構，此結構中含有一個判斷框，算法執行到此判斷給定的條件P是否成立，選擇不同的執行框(A框、B框)。無論P條件是否成立，只能執行A框或B框之一，不可能既執行A框又執行B框，也不可能A框、B框都不執行。A框或B框中可以有一個是空的，即不執行任何操作。

見示意圖

(3)循環結構

在一些算法中要求重復執行同一操作的結構稱為循環結構。即從算法某處開始，按照一定條件重復執行某一處理過程。重復執行的處理步驟稱為循環體。

循環結構有兩種形式：當型循環結構和直到型循環結構。

①當型循環結構，如左下圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執行A框，A框執行完畢后，返回來再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，返回來再執行A框，如此反復執行A框，直到某一次返回來判斷條件P不成立時為止，此時不再執行A框，離開循環結構。繼續執行下面的框圖。

②直到型循環結構，如右下圖所示，它的功能是先執行重復執行的A框，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則返回來繼續執行A框，再判斷條件P是否成立。以次重復操作，直到某一次給定的判斷條件P時成立為止，此時不再返回來執行A框，離開循環結構。繼續執行下面的框圖。

見示意圖

1．算法的概念

(1)算法的定義：廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，菜譜是做菜的算法等等。

在數學中，現代意義的算法是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序和步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成。

(2)算法的特征：①確定性：算法的每一步都應當做到準確無誤、“不重不漏”。“不重”是指不是可有可無的、甚至無用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無法完成任務。②邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環環相扣。分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續。③有窮性：算法要有明確的開始和結束，當到達終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結果，也就是說必須在有限步內完成任務，不能無限制的持續進行。

(3)算法的描述：自然語言、程序框圖、程序語言。

算法是高中數學課程中的新內容，本章的重點是算法的概念和算法的三種邏輯結構。

預測2007年高考對本章的考察是：以選擇題或填空題的形式出現，分值在5分左右，考察的熱點是算法的概念。