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492. 給出以下四個命題：

　①若兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行

　②若兩條直線和第三條直線都垂直，則這兩條直線平行

　③若兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線平行

　④若兩條直線分別在兩個相交平面內(nèi)，則這兩條直線不可能平行

　其中錯誤命題的個數(shù)是(　)個．

　A．1　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　 D．4

解析：C．根據(jù)公理4，知③正確，利用正方體判斷其余命題均不正確．由與AB所成角90°，BC與AB所成的角90°，但與BC不平行，從而①、②不正確；在平面內(nèi)，DC在平面ABCD內(nèi)，雖平面與平面ABCD相交，仍有∥DC，從而說明④不正確．

491. A、B、C、D是不在同一個平面內(nèi)的四點．E是線段AD上一點．證明直線CE和BD是異面直線．

解析：設(shè)CE、BD不是異面直線，那么CE、BD在同一個平面(設(shè)為a)內(nèi)．由E、D在平面a 內(nèi)，則直線ED在平面a內(nèi)，直線ED上的點A也在平面a內(nèi)，即A、B、C、D都在平面a內(nèi)，這與A、B、C、D不在同一平面內(nèi)是相矛盾的，因此CE、BD是異面直線．

490. 在正方體ABCD-中，六個面內(nèi)與BD所成的角為60°的對角線共有多少條?

解析：參看圖答9－10，與BD相交所成角為60°的面對角線、，，四條；與BD異面所成角為60°的面對角線有、、、四條，故一共8條．

圖答9－10

489. 直線a和b是平行直線，點A、C在直線a上，點B、D在直線b上，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是什么?若直線a和b是異面直線呢?

解析：若a∥b，則a，b共面于a，A、B、C、D均在a內(nèi)，故AB與CD共面于a，則AB與CD的位置關(guān)系可能是平行或相交．若a、b是異面直線，則AB與CD必是異面直線．假設(shè)AB與CD共面于b，則AC與BD，即a、b共面．這與已知矛盾

488. 判斷下列命題是否正確，并說明理由．

　(1)空間兩條直線可以確定一個平面；

　(2)垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條；

　(3)垂直于同一條直線的兩條直線平行；

　(4)直線a與b平行，b與c平行，則a與c平行；

　(5)直線a與b相交，b與c相交，則a與c相交；

　(6)直線a與b異面，b與c異面，則a與c異面；

　(7)一條直線與兩條平行線中的一條垂直，必和另一條也垂直．

解析：(1)不正確．兩條異面直線不能確定一個平面．

　(2)不正確．垂直于兩條異面直線的直線有無數(shù)多條，但公垂線--與兩條異面直線垂直相交的直線有且只有一條．

　(3)不正確．垂直于同一直線的兩條直線可能平行、相交或異面．

　(4)正確．由公理4可知．

　(5)不正確．a、c可能平行，還可能異面．

　(6)不正確．a、c可能異面，但也可能平行或相交．

(7)正確．因為直線與兩條平行線所成的角相等

487. 如圖9－26，P為△ABC所在平面外一點，點M、N分別是△PAB和△PBC的重心．求證：MN∥平面ABC．

　(三角形的三條中線交于一點，稱為重心，重心到一個頂點的距離是該點到對邊中點距離的2倍)

圖9－26

解析：如圖答9－16，連結(jié)PM并延長交AB于D，連結(jié)PN并延長交BC于E，連結(jié)DE．在ΔPAB中，∵　 M是ΔPAB的重心，∴　 ，同理在△PBC中有，在△PDE中，∵　 ，∴　 MN∥DE，∵　 MN平面ABC，DE平面ABC，∴　 MN∥平面ABC．

486. 如圖9－25，在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，且EH∥FG．求證：EH∥BD．

解析：

485. 已知平面a∩平面b＝l，A∈a，B∈a，C∈b (如圖9－24)，在下列情況下求作平面ABC與平面b的交線，并說明理由．

　(1)ABl；(2)AB∥l．

解析：(1)∵ABl，AB與l共面于a，∴　 AB與l相交，設(shè)AB∩l＝D，連結(jié)CD，則CD＝，這是因為D∈AB，D∈l，∴　 D∈平面ABC，D∈b，∴　 D為平面ABC與平面b 的一個公共點，∴　 平面ABC與平面b的交線是過D的一條直線，又C是平面ABC與平面b 的另一個公共點，且平面ABC與平面的交線是過C的一條直線，所以平面＝CD．

圖答9－15

　(2)在平面b內(nèi)過C作CE∥l，則CE＝．∵　 AB∥l，ABb，lb，∴　 AB∥平面b．∵　 平面ABC與平面b 有一個公共點C，∵　 平面ABC與b相交于過C的一條直線m．∵　 AB平面ABC， ＝m，AB∥b，∴　 AB∥m．∵　 AB∥l，∴　 l∥m．于是在b 內(nèi)過C作l的平行線即為所求的交線．

484. 在正方體ABCD-中，E、F分別為BC、的中點，求證：直線EF∥平面．

解析：取BD中點G，連結(jié)EG，．可證為平行四邊形(還有其他證法)．

483. 已知三個平面a、b、g 滿足＝a，＝b，＝c，且a∥g ，求證：b∥a，c∥b．

如圖答9－14，解析：

　同理可證c∥b．