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5.若(a+1)<(3-2a)，則a的取值范圍是　　　 .　

答案 (

例1已知函數f(x)=(m²-m-1)x^-5m-3，m為何值時，f(x)：(1)是冪函數；(2)是冪函數，且是(0,+∞)上的增函數；

(3)是正比例函數；(4)是反比例函數；(5)是二次函數.　

解 (1)因f(x)是冪函數，故m²-m-1=1，即m²-m-2=0,　

解得m=2或m=-1.　

(2)若f(x)是冪函數且又是(0，+∞)上的增函數，　

則∴m=-1.　

(3)若f(x)是正比例函數，則-5m-3=1,解得m=-,　

此時m²-m-1≠0,故m=-.　

(4)若f(x)是反比例函數，則-5m-3=-1,　

則m=-,此時m²-m-1≠0,故m=-.　

(5)若f(x)是二次函數，則-5m-3=2,即m=-1,此時m²-m-1≠0，故m=-1.　

綜上所述，當m=2或m=-1時，f(x)是冪函數;

當m=-1時，f(x)既是冪函數，又是(0,+∞)上的增函數;　

當m=-時，f(x)是正比例函數;

當m=-時，f(x)是反比例函數;　

當m=-1時，f(x)是二次函數.　

例2 點(，2)在冪函數f(x)的圖象上，點(-2，在冪函數g(x)的圖象上，問當x為何值時，

有f(x)＞g(x)，f(x)=g(x)，f(x)＜g(x).　

解 　設f(x)=x^α，則由題意得2=，　

∴α=2，即f(x)=x²，再設，　

則由題意得，　

∴=-2，即g(x)=x^-2，在同一坐標系中作出f(x)與g(x)的圖象，如圖所示.　

由圖象可知：

①當x＞1或x＜-1時，　

f(x)＞g(x)；　

②當x=±1時，f(x)=g(x)；　

③當-1＜x＜1且x≠0時，　

f(x)＜g(x).　

例3　 (12分) 已知冪函數f(x)=x(m∈Z)為偶函數，且在區間(0，+∞)上是單調減函數.　

(1)求函數f(x);　

(2)討論F(x)=a的奇偶性.　

解 (1)∵f(x)是偶函數，∴m²-2m-3應為偶數.　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　2分

又∵f(x)在(0，+∞)上是單調減函數，　

∴m²-2m-3<0,∴-1<m<3.　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

又m∈Z，∴m=0，1，2.　

當m=0或2時，m²-2m-3=-3不是偶數，舍去；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

當m=1時，m²-2m-3=-4;　

∴m=1,即f(x)=x^-4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　6分

(2)F(x)=，

∴F(-x)=+bx³.　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

①當a≠0，且b≠0時，F(x)為非奇非偶函數；　

②當a=0,b≠0時，F(x)為奇函數；　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　10分　

③當a≠0,b=0時，F(x)為偶函數；　

④當a=0,b=0時，F(x)既是奇函數，又是偶函數.　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　12分

4.若冪函數f(x)的圖象經過點(3,)，則其定義域為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 (　　 )

A.{x|x∈R, x＞0}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B. {x|x∈R, x＜0}

C. {x|x∈R,且x≠0}　　　　　　　　　 D.R

答案　 C

3.下列說法正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

　　 A.冪函數一定是奇函數或偶函數　　　　　　　　

　 B.任意兩個冪函數圖象都有兩個以上交點　

C.如果兩個冪函數的圖象有三個公共點，那么這兩個冪函數相同　

?　 D.圖象不經過(-1，1)的冪函數一定不是偶函數　

答案　 D

2.(2008·山東文，4)給出命題：若函數y=f(x)是冪函數，則函數y=f(x)的圖象不過第四象限.在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數是　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

A.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.0

答案　 C

1.下列函數中：①y=②y=3x-2;③y=x⁴+x²;④y=是冪函數的個數為　　　　　　　　　　 (　　 )　　　　　

A.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.4

　 答案　 B

12.已知函數f(x)=log_a (a>0,且a≠1，b>0).　

(1)求f(x)的定義域；　

(2)判斷f(x)的奇偶性；　

(3)討論f(x)的單調性.　

解 (1)由>0(x+b)(x-b)>0.　

解得f(x)的定義域為(-∞,-b)∪(b,+∞).　

(2)∵f(-x)=log_a

∴f(x)為奇函數.　

(3)令u(x)=，則u(x)=1+　

它在(-∞,-b)和(b,+∞)上是減函數.　

∴當0<a<1時，f(x)分別在(-∞,-b)和(b,+∞)上是增函數；　

當a>1時，f(x)分別在(-∞,-b)和(b,+∞)上是減函數.

§2.6冪函數

基礎自測

11.已知定義域為R的函數f(x)為奇函數，且滿足f(x+2)=-f(x)，當x∈［0，1］時，f(x)=2^x-1.　

(1)求f(x)在［-1，0)上的解析式；　

(2)求f(log24).　

解　 (1)令x∈［-1，0)，則-x∈(0，1］，∴f(-x)=2^-x-1.　

又∵f(x)是奇函數，∴f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=f(-x)=2^-x-1，　

∴f(x)=-(^x+1.　

(2)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4為周期的周期函數,　

∵log24=-log₂24∈(-5,-4),∴log24+4∈(-1,0),　

∴f(log24)=f(log24+4)=-(+1=-24×+1=-.

10.已知函數y=log(x²-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函數，求a的取值范圍.　

解　 因為(x)=x²-2ax-3在(-∞,a］上是減函數，　

在［a,+∞)上是增函數，　

要使y= log(x²-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函數，　

首先必有0＜a²＜1,即0＜a＜1或-1＜a＜0,

且有得a≥-.

綜上，得-≤a＜0或0＜a＜1.

9.已知函數f(x)=log_a(x+1)(a>1),若函數y=g(x)圖象上任意一點P關于原點對稱點Q的軌跡恰好是函數f(x)的圖象.　

(1)寫出函數g(x)的解析式；　

(2)當x∈［0，1)時總有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范圍.　

解　 (1)設P(x，y)為g(x)圖象上任意一點，　

則Q(-x，-y)是點P關于原點的對稱點，　

∵Q(-x，-y)在f(x)的圖象上，　

∴-y=log_a(-x+1)，即y=g(x)=-log_a(1-x).　

(2)f(x)+g(x)≥m,即log_a≥m.　

設F(x)=log_a,x∈［0，1)，　

由題意知，只要F(x)_min≥m即可.　

∵F(x)在［0，1)上是增函數，　

∴F(x)_min=F(0)=0.故m≤0即為所求.

8.若a²>b>a>1，則log_b,log_ab,log_ba從小到大的依次排列為　　　　 .　

答案?log_b<log_ba<log_ab