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4、設，則使函數的定義域為R且為奇函數的所有值為　　　

2、在R上定義的函數是偶函數，且.若在區間上是減函數，則　　

　 在區間上是　　 函數，在區間上是　　　　 函數

1、，是定義在R上的函數，，則“，均為偶函數”是“為偶函數”的　　　　　　　　　　 條件

4．判斷下列函數的奇偶性：

①,②,③

典型例題

例1．已知函數，，且

(1)　　 求函數定義域

(2)　　 判斷函數的奇偶性，并說明理由.

變式1：已知是偶函數，定義域為.則　 ，　　

變式2：函數的圖象關于　　　 (　 )　　　　　　　　　　　　 　　　

A．軸對稱　　　　　　　 B．軸對稱 　 　C．原點對稱　　 D．直線對稱

變式3：若函數是奇函數，則　　　　

變式4：函數的圖象關于直線對稱.則 　　　　　　

變式5：函數在上的單調遞增區間為 　　　　　　

例2、已知函數是偶函數，而且在上是減函數，判斷在上是增函數還是減函數，并證明你的判斷.

變式1：下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是　　　　

A. 　　B. 　　C. 　　　　　　D.

變式2：函數是R上的偶函數，且在上是增函數，若,則實數的取值范圍是 　　　　　　

設計意圖：考察函數奇偶性與單調性的關系

例3、已知函數，求，，的值

變式1：設則__________

變式2：已知是上的減函數，那么的取值范圍是　　 　

例4、設函數f(x)的定義域是N^*，且，，則f(25)=　 　

變式1：設函數定義在R上，對任意實數m、n，恒有且當

(1)求證：f(0)=1，且當x＜0時，f(x)＞1；

(2)求證：f(x)在R上遞減；

(3)設集合A={(x，y)|f(x²)·f(y²)＞f(1)}，B={(x，y)|f(ax－y+2)=1，

a∈R}，若A∩B=，求a的取值范圍.

實戰演練

3．已知函數f (x), g (x)在 R上是增函數，求證：f [g (x)]在 R上也是增函數。

2．函數在定義域上的單調性為　　　　

(A)在上是增函數，在上是增函數;(B)減函數;

(C)在上是減函數，在上是減函數;(D)增函數

1.討論函數的單調性。

4. 奇函數

⑴奇函數：.設()為奇函數上一點，則()也是圖象上一點.

⑵奇函數的判定：兩個條件同時滿足①定義域一定要關于原點對稱，例如：在上不是奇函數.②滿足，或，若時，.

注:函數定義域關于原點對稱是判斷函數奇偶性的必要條件，在利用定義判斷時，應在化簡解析式后進行，同時靈活運用定義域的變形，如，(f(x)≠0)

課前練習

3.偶函數

⑴偶函數：.設()為偶函數上一點，則()也是圖象上一點.

⑵偶函數的判定：兩個條件同時滿足

①　　 定義域一定要關于軸對稱，例如：在上不是偶函數.

②　　 滿足，或，若時，.

2、單調性：研究函數的單調性應結合函數單調區間，單調區間應是定義域的子集。

判斷函數單調性的方法：

①　　 定義法(作差比較和作商比較)；

②　　 圖象法；

③　　 單調性的運算性質(實質上是不等式性質)；

④　　 復合函數單調性判斷法則;

⑤　　 導數法(適用于多項式函數)

注：函數單調性是函數性質中最活躍的性質，它的運用主要體現在不等式方面，如比較大小，解抽象函數不等式等。