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用韋達定理解“含參二次方程的實根分布”問題的基本方法

2.若方程-(k+2)x+4=0有兩負根，求k的取值范圍.

提示：由.

1.關于x的方程m+(2m+1)x+m=0有兩個不等的實根，則m的取值范圍是：

A.(-, +)；B.(-,-)；C.[-，+]；D.(-,0)∪(0,+).

提示：由m0且>0，得m<-，∴選D.

例1 當m取什么實數時，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分別有:

①兩個實根；　　　　　　　　 ②一正根和一負根；

③正根絕對值大于負根絕對值；④兩根都大于1.

解 ：設方程4+(m-2)x+(m-5)=0的兩根為、

①若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有兩個正根，則需滿足：

m∈φ.

∴此時m的取值范圍是φ，即原方程不可能有兩個正根.

②若方程4+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一負根，則需滿足：

m<5.

∴此時m的取值范圍是(-,5).

③若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的正根絕對值大于負根絕對值，則需滿足：

m<2.

∴此時m的取值范圍是(-,2).

④錯解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的兩根都大于1，則需滿足：

　m∈(,6)

∴此時m的取值范圍是(,6)，即原方程不可能兩根都大于1.

正解：若方程4+(m-2)x+(m-5)=0的兩根都大于1，則需滿足：

　m∈φ.

∴此時m的取值范圍是φ，即原方程不可能兩根都大于1.

說明：解這類題要充分利用判別式和韋達定理.

例2．已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有兩個負實根，求實數k的取值范圍.

解：要原方程有兩個負實根，必須:

.

∴實數k的取值范圍是{k|-2<k<-1或<k<1}.

韋達定理：

方程()的二實根為、，則

21．(本小題滿分13分)

已知函數為自然對數的底數)

　 (1)求的單調區間，若有最值，請求出最值；

　 (2)是否存在正常數，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線？若存在，求出的值，以及公共點坐標和公切線方程；若不存在，請說明理由。

21．(本小題滿分13分)

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4；是過點P(0，2)且互相垂直的兩條直線，交E于A，B兩點，交E交C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N。

　 (1)求橢圓E的方程；

　 (2)求k的取值范圍；

　 (3)求的取值范圍。

19．(本小題滿分13分)

在數列。

　 (1)求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；

　 (2)設，求數列的前項和。

18．(本小題滿分12分)

在如圖所示的空間幾何體中，平面平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在的平分線上。

　 (1)求證：DE//平面ABC；

　 (2)求二面角E-BC-A的余弦；

　 (3)求多面體ABCDE的體積。

17．(本小題滿分12分)

甲乙兩個盒子里各放有標號為1，2，3，4的四個大小形狀完全相同的小球，從甲盒中任取一小球，記下號碼后放入乙盒，再從乙盒中任取一小球，記下號碼，設隨機變量

　 (1)求的概率；

　 (2)求隨機變量X的分布列及數學期望。