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2009中考語文模擬試卷
（滿分１５０分，１２０分鐘完卷）
班級 姓名 得分
題號
一
二
三
四
總分
評卷人
（一）
（二）
（一）
（二）
2009屆高考數學壓軸題預測
專題六 導 數
1.
設函數
，（1）若當
時，
取得極值，求
的值，并討論的單調性；（2）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于
．
解析：（1）
，依題意有
，故
．
從而
．
的定義域為
，當
時，
；
當
時，
；當
時，．
從而，分別在區間
單調增加，在區間
單調減少．
（2）的定義域為
，
．
方程
的判別式
．
①若
，即
，在的定義域內，故的極值．
②若
，則
或
．若
，
，
．
當
時，
，當
時，，所以無極值．若，
，
，也無極值．
③若
，即
或
，則有兩個不同的實根
，
．
當時，
，從而
有的定義域內沒有零點，故無極值．
當時，
，
，在的定義域內有兩個不同的零點，由根值判別方法知在
取得極值．
綜上，存在極值時，的取值范圍為
．的極值之和為
．
答案： （1）；（2）見詳解。
點評：本題主要考查對極值概念的理解以及對函數導數的綜合運用。
2. 已知函數
處取得極值2。
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）當m滿足什么條件時，在區間
為增函數；
（Ⅲ）若
圖象上任意一點，直線
的圖象切于P點，求直線L的斜率的取值范圍。
解：（Ⅰ）
由已知
（Ⅱ）
又在
）
（Ⅲ）直線I在P點的切線斜率
令
當
）
3.
設
是
的兩個極值點，
的導函數是
（Ⅰ）如果
，求證：
；
（Ⅱ）如果
，求
的取值范圍
；
（Ⅲ）如果
，且
時，函數
的最小值為
，求的最大值。
（I）證明：
是方程
的兩個根 1分
由且
得
2分
得
3分
（Ⅱ）解：由第（1）問知
由
，兩式相除得
即
4分
①當
時，由
即
， 
5分
令函數
，則
在
上是增函數
當時，
，即
7分
②當
時，
即
令函數
則同理可證
在
上是增函數
當
時，
綜①②所述，的取值范圍是
（Ⅲ）解：
的兩個根是 ，可設
10分
又
g(x) 
當且僅當
，即
時取等號
當時，
在
上是減函數
2009屆高考數學壓軸題預測
專題1 函數
考點一：函數的性質與圖象
1. 已知
，函數
。設
，記曲線
在點
處的切線為
。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)設與
軸交點為
。證明：
① 
；
② 若
，則
(Ⅰ)分析：欲求切線的方程，則須求出它的斜率，根據切線斜率的幾何意義便不難發現，問題歸結為求曲線在點的一階導數值。
解：求
的導數：
，由此得切線的方程：
。
(Ⅱ)分析：①要求
的變化范圍，則須找到使產生變化的原因，顯然，變化的根本原因可歸結為
的變化，因此，找到與的等量關系式，就成；②
欲比較與的大小關系，判斷它們的差的符號即可。
證：依題意，切線方程中令y＝0，
.
①
由
.
②
。
點評：本小題主要考查利用導數求曲線切線的方法，考查不等式的基本性質，以及分析和解決問題的能力。
考點二：二次函數
2. 已知二次函數
，設方程
的兩個實數根為
和
.
(1)如果
，設函數的對稱軸為
，求證：
；
(2)如果
，
，求
的取值范圍.
分析：條件實際上給出了的兩個實數根所在的區間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化.
解：設
，則
的二根為和.
(1)由及，可得 
，即
，即
兩式相加得
，所以，;
(2)由
，
可得 
.
又
，所以
同號.
∴ ，等價于
或
，
即 
或
解之得 
或
.
點評：在處理一元二次方程根的問題時，考察該方程所對應的二次函數圖像特征的充要條件是解決問題的關鍵。
考點三：抽象函數
3. A是由定義在
上且滿足如下條件的函數
組成的集合：①對任意
，都有
； ②存在常數
，使得對任意的
，都有
(Ⅰ)設
，證明：
(Ⅱ)設，如果存在
，使得
，那么這樣的
是唯一的;
(Ⅲ)設，任取
，令
證明:給定正整數k，對任意的正整數p，成立不等式
解：對任意，
，
，
，所以
對任意的，
，
，
所以0＜
，
令＝
，
，
所以
反證法:設存在兩個
使得，
則
由
，得
，所以
，矛盾，故結論成立。
，所以
＋…
點評：本題以高等數學知識為背景，與初等數學知識巧妙結合，考查了函數及其性質、不等式性質，考查了特殊與一般、化歸與轉化等數學思想。
考點四：函數的綜合應用
4.
設函數
．
(Ⅰ)求的最小值
；
(Ⅱ)若
對
恒成立，求實數
的取值范圍．
解：(Ⅰ)
，
當
時，取最小值
，
即
．
(Ⅱ)令
，
由
得
，
(不合題意，舍去)．
當
變化時
，
的變化情況如下表：
(0，1)
(1，2)
遞增
極大值
遞減
在
內有最大值
．
在內恒成立等價于
在內恒成立，
即等價于
，
所以的取值范圍為
．
點評：本題主要考查函數的單調性、極值以及函數導數的應用，考查運用數學知識分析問題解決問題的能力．
5. 乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v(千米／時)的平方成正比，比例系數為b；固定部分為a元.
① 把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米／時)的函數，并指出函數的定義域；
② 為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？
分析：幾個變量(運輸成本、速度、固定部分)有相互的關聯，抽象出其中的函數關系，并求函數的最小值.
解：(讀題)由主要關系：運輸總成本＝每小時運輸成本×時間，
(建模)有y＝(a＋bv
)
(解題)所以全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米／時)的函數關系式是：
y＝S(
＋bv)，其中函數的定義域是v∈(0，c] .
整理函數有y＝S(＋bv)＝S(v＋
)，
由函數y＝x＋
(k＞0)的單調性而得：
當
＜c時，則v＝時，y取最小值；
當≥c時，則v＝c時，y取最小值.
綜上所述，為使全程成本y最小，當＜c時，行駛速度應為v＝；當≥c時，行駛速度應為v＝c.
點評：1.對于實際應用問題，可以通過建立目標函數，然后運用解(證)不等式的方法求出函數的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現解答不完整.此種應用問題既屬于函數模型，也可屬于不等式模型.
6.
設函數
.
(1)在區間
上畫出函數
的圖像；
(2)設集合
. 試判斷集合
和
之間的關系，并給出證明；
(3)當
時，求證：在區間
上，
的圖像位于函數圖像的上方.
解：(1)
(2)方程
的解分別是
和
，由于在
和
上單調遞減，在
和
上單調遞增，因此
.
由于
.
(3)[解法一] 當
時，
.
，
. 又
，
①
當
，即
時，取
，
.
，
則
.
②
當
，即
時，取
， ＝
.
由 ①、②可知，當時，
，.
因此，在區間上，
的圖像位于函數圖像的上方.
[解法二] 當時，.
由
得
，
令 
，解得
或
，
在區間上，當時，
的圖像與函數的圖像只交于一點
；
當時，
的圖像與函數的圖像沒有交點.
如圖可知，由于直線過點
，當時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉得到. 因此，在區間上，的圖像位于函數圖像的上方.
7.
設f(x)＝3ax
，f(0)＞0，f(1)＞0，求證：
(Ⅰ)a＞0且－2＜
＜－1；
(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)內有兩個實根.
(I)證明：因為
，所以
.
由條件
，消去，得
；
由條件，消去
，得
，
.
故
.
(II)拋物線
的頂點坐標為
，
在的兩邊乘以
，得
.
又因為
而
所以方程
在區間
與
內分別有一實根。
故方程在
內有兩個實根.
8.
已知定義域為
的函數
是奇函數。
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若對任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范圍；
解：(Ⅰ)因為是奇函數，所以
＝0，即
又由f(1)＝ －f(－1)知
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知
，易知在
上
為減函數。又因是奇函數，從而不等式：
等價于
，因為減函數，由上式推得：
．即對一切有：
，
從而判別式
解法二：由(Ⅰ)知
．又由題設條件得： 
，
即 ：
，
整理得 
上式對一切均成立，從而判別式
9.
設函數f(x)＝
其中a為實數.
(Ⅰ)若f(x)的定義域為R，求a的取值范圍;
(Ⅱ)當f(x)的定義域為R時，求f(x)的單減區間.
解：(Ⅰ)的定義域為
，
恒成立，
，
，即當
時的定義域為．
(Ⅱ)
，令
，得
．
由
，得
或
，又
，
時，由
得
；
當
時，
；當
時，由得
，
即當
時，的單調減區間為
；
當時，的單調減區間為
．
10.
已知定義在正實數集上的函數
，
，其中
．設兩曲線
，
有公共點，且在該點處的切線相同．
(I)用
表示，并求的最大值；
(II)求證：
(
)．
解：(Ⅰ)設與
在公共點
處的切線相同．
，
，由題意
，
．
即
由
得：
，或
(舍去)．
即有
．
令
，則
．于是
當
，即
時，
；
當
，即
時，
．
故在
為增函數，在
為減函數，
于是在
的最大值為
．
(Ⅱ)設
，
則
．
故
在
為減函數，在
為增函數，
于是函數在上的最小值是
．
故當時，有
，即當時，
．
南京市第十三中學2008―2009學年度高三第二次三周考試物理試題
命題人：孟振洲 審核人：成小寅
友情提醒：本試卷?分120分，考試時間100分鐘．請將答案填寫在答題卡上，直接寫在試卷上不得分．
2009屆高考數學壓軸題預測
專題四 解析幾何
考點一 曲線（軌跡）方程的求法
1.
設
上的兩點，
滿足
，橢圓的離心率
短軸長為2，0為坐標原點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.
解析：本例（1）通過
，
，及
之間的關系可得橢圓的方程；（2）從方程入手，通過直線方程與橢圓方程組成方程組并結合韋達定理；（3）要注意特殊與一般的關系，分直線的斜率存在與不存在討論。
答案：（1）
橢圓的方程為
（2）設AB的方程為
由
由已知
2
（3）當A為頂點時，B必為頂點.S△AOB=1
當A，B不為頂點時，設AB的方程為y=kx+b
所以三角形的面積為定值.
點評：本題考查了直線與橢圓的基本概念和性質，二次方程的根與系數的關系、解析幾何的基本思想方法以及運用綜合知識解決問題的能力。
2.
在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為 A（0，－1），B（0, 1）平面內兩點G、M同時滿足①
, ②
= 
= 
③
∥
（1）求頂點C的軌跡E的方程
（2）設P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點F的坐標為（
, 0） ，已知
∥
, 
∥
且?= 0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.
解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表達點特征；（2）要把握好直線與橢圓的位置關系，弦長公式，靈活的運算技巧是解決好本題的關鍵。
答案：（1）設C ( x , y )， 
,由①知
,
G為
△ABC的重心 ， G(
,
) 由②知M是△ABC的外心，
M在x軸上
由③知M（，0），
由
得
化簡整理得：
（x≠0）。
（2）F（，0 ）恰為的右焦點
設PQ的斜率為k≠0且k≠±
，則直線PQ的方程為y = k ( x －)
由
設P(x1 , y1) ，Q (x2
,y2 ) 則x1 + x2 = 
, x1?x2 =
則| PQ | =
? 
= ?
= 
RN⊥PQ,把k換成
得 | RN | = 
S =
| PQ | ?
| RN |
=
=
)
≥2 ， 
≥16
≤ S < 2 ， (當 k = ±1時取等號)
又當k不存在或k = 0時S = 2
綜上可得
≤ S ≤ 2
Smax
= 2 ， Smin =
點評：本題考查了向量的有關知識，橢圓與直線的基本關系，二次方程的根與系數的關系及不等式，轉化的基本思想方法以及運用綜合知識解決問題的能力。
考點二 圓錐曲線的幾何性質
3.
如圖，F為雙曲線C：
的右焦點
P為雙曲線C右支上一點，且位于
軸上方，M為左準線上一點，
為坐標原點 已知四邊形
為平行四邊形，
（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率
與
的關系式；
（Ⅱ）當
時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若
，求此時的雙曲線方程
分析: 圓錐曲線的幾何性質結合其它圖形的考查是重點。注意靈活應用第二定義。
解：∵四邊形是
，∴
，作雙曲線的右準線交PM于H，則
，又
，
（Ⅱ）當時，
，
，
，雙曲線為
四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為
，則直線AB的方程為
，代入到雙曲線方程得：
，
又，由
得：
，解得
，則
，所以
為所求
點評：本題靈活的運用到圓錐曲線的第二定義解題。
4.
設
分別為橢圓
的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且
為它的右準線
（Ⅰ）、求橢圓的方程；
（Ⅱ）、設
為右準線上不同于點（4，0）的任意一點， 若直線
分別與橢圓相交于異于的點
，證明：點
在以
為直徑的圓內
分析：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力
解：（Ⅰ）依題意得 a＝
＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝
故橢圓的方程為 
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）
設M（x0，y0）
∵M點在橢圓上，∴y0＝
（4－x02）
1
又點M異于頂點A、B，∴－2<x0<2，由P、A、M三點共線可以得
P（4，
）
從而
＝（x0－2，y0），
＝（2，）
∴?＝2x0－4＋
＝
（x02－4＋3y02） 2
將1代入2，化簡得?＝
（2－x0）
∵2－x0>0，∴
?
>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點B在以MN為直徑的圓內
解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 設M（x1，y1），N（x2，y2），
則－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中點Q的坐標為（
，
），
依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差
－
＝(－2）2＋（）2－
[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 3
又直線AP的方程為y＝
，直線BP的方程為y＝
，
而點兩直線AP與BP的交點P在準線x＝4上，
∴
，即y2＝
4
又點M在橢圓上，則
，即
5
于是將4、5代入3，化簡后可得－＝
從而，點B在以MN為直徑的圓內
點評：本題關鍵是聯系直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力
考點三 直線與圓錐曲線位置關系問題
5.
已知拋物線C：
上任意一點到焦點F的距離比到y軸的距離大1。
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過焦點F的直線交拋物線于M、N兩點，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；
（3）求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題．
例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積
后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為，求側棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求所有側面面積之和的最小值”．
現有正確命題：過點
的直線交拋物線C：于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過焦點F。
試給出上述命題的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題。
解析：
答案：解：（1）
（2）設
（t>0），則
，F(1,0)。
因為M、F、N共線，則有
，
所以
，解得
，
所以
，
因而，直線MN的方程是
。
（3）“逆向問題”一：
①已知拋物線C：的焦點為F，過點F的直線交拋物線C于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點。
證明：設過F的直線為y=k(x
)，
，
，則
由
得
，所以
，
，
=
，
所以直線RQ必過焦點A。
②過點
的直線交拋物線C于P、Q兩點，FP與拋物線交于另一點R，則RQ垂直于x軸。
③已知拋物線C：，過點B(m,0 )（m>0）的直線交拋物線C于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點A(-m,0)。
“逆向問題”二：已知橢圓C：
的焦點為F1(-c,0)，F2(c,0)，過F2的直線交橢圓C于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點
。
“逆向問題”三：已知雙曲線C：
的焦點為F1(-c,0)，F2(c,0)，過F2的直線交雙曲線C于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點
。
考點四 圓錐曲線的應用
（1）．圓錐曲線的標準方程和幾何性質與平面向量的巧妙結合。
6.
（2004年全國高考天津理科22題）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為
，相應于焦點F（C，0）（C＞0）的準線L與X軸相交于點A，
，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）
若 OP?O Q = 0，求直線PQ的方程；
（3）設 A P = AQ（＞1），過點P且平行與準線L的直線與橢圓相交于另一點M，證明 FM = - FQ 。
分析：（1）要求橢圓的方程及離心率，很重要的一點就是要熟悉這種二次曲線的標準方程的中心、長軸長、短軸長、焦點坐標、標準方程、離心率、焦距等有關概念及幾何性質。解：（1）根據已知條件“橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（C，0）（C＞0）的準線L與X軸相交于點A。” 可設橢圓的方程為
（a＞
），從而有
；又因
可以有
，聯系以上這兩個關于a、c的方程組并解得a=
，c=2，所以橢圓的方程為
，離心率e=
。
（2）根據已知條件
“O P?O Q = 
，Q
，把兩個向量的數量積的形式轉化為坐標表示的形式，再根據直線 PQ 經過 A（3，0），只須求出直線PQ的斜率K即可求出直線PQ的方程。而P、Q兩點又在橢圓上，因此，我們容易想到通過直線y=k（x-3）與橢圓，聯系方程組消去一個未知數y（或x）得
，并利用一元二次方程的根與系數關系結合
及
不難求出k=
，這里應特別注意K的值要保證
＞0成立，否則無法保證直線PQ與橢圓有兩個交點。
（3）要證F M =- F Q ，我們容易想到通過式中兩個向量FM、FQ的坐標之間關系來謀求證題的方法。為此我們可根據題意“過點P且平行為準線L的直線與橢圓相交于另一點M”，求得點M坐標為
。又因AP=AQ，易知FM、FQ的兩個縱坐標已經滿足
，所以現在要考慮的問題是如何證明FM、FQ的兩個橫坐標應該滿足
，事實上，
注意到＞1，解得
⑤
因F（2，0），M，故FM=
=
。
=
=
又FQ=
，因此FM=-FQ。
點評：本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質及相關概念，直線方程、平面向量的坐標表示和向量的數量積，多元二次方程組解法、曲線和方程的關系、直線與橢圓相交等解析幾何的基礎思想方法，以及分析問題和綜合解題能力。
把兩個向量之間的關系，轉化為兩個向量坐標之間的關系，再通過代數運算的方法來解決有關向量的問題是一種常用的解題手段。
7.
（江蘇卷）已知
，記點P的軌跡為E.
（1）求軌跡E的方程；
（2）若直線l過點F2且與軌跡E交于P、Q兩點.
（i）無論直線l繞點F2怎樣轉動，在x軸上總存在定點
，使
恒成立，求實數m的值.
（ii）過P、Q作直線
的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記
，求λ的取值范圍.
解析：
答案：解：（1）由
知，點P的軌跡E是以F1、F2為焦點的雙曲線右支，由
，故軌跡E的方程為
（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為
，與雙曲線方程聯立消y得
，
解得k2 >3
（i）
，
對任意的
恒成立，
知結論也成立，
是雙曲線的右準線，
，
，
，
，過Q作QC⊥PA，垂足為C，則
上一點，直線L過點P且與拋物線C交于另一點Q。
，這樣過P
，由于直線L與過點P的切線垂直，因此直線L的斜率為
（
，結合
。
，因M為PQ的中點，故有
消去
。
。
的特點，我們很自然想到平面直角坐標系中的兩點間的距離公式。于是可先求S、T兩點的坐標，易知：
，從而有
?
≥2
、
可取一切不相等的正數。
）。