專題練習 轉化思想在代數中的應用
專題練習 數形結合思想在幾何中的應用
一. 填空題
1. 若A（-5，3）、B（3，3），則以AB為底邊、腰長為5的等腰三角形ABC的頂點C（點C不在坐標軸上）的坐標是______________。
應填入：（-1，6）
________________。
應填入：
3. 若第四象限點A到坐標原點O的距離為2，OA與x軸正半軸夾角為30°，則A點坐標是__________________。
應填入：
4. 已知：A（3，-5），|AB|=13，點B在x軸負半軸上，則B點坐標是_____________。
應填入：
5. 已知：如圖所示，△ABC中，A為坐標原點，AB在x軸上，∠BAC=180°－α（0°<α<90°），AC=m，則C點坐標（用α的三角函數及m表示）是_____________。
應填入：
6. 如圖所示，在矩形ABCD中，BD=10，△ABD的內切圓半徑為2，切三邊于E、F、G，則矩形兩邊AB=________________，AD=_______________。
應填入：6，8
二. 解答題
7. 已知：如圖所示，矩形AOBC中，以O為坐標原點，OB、OA分別在x軸、y軸上，A（0，4），∠OAB=60°，以AB為軸對折后，使C點落在D點處，求D點坐標。（利用點到軸的距離等于點坐標的絕對值溝通形與數）
解：
8. 如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，點D在BC上，BD=4，AD=BC，
（1）DC的長；
（2）sinB的值。（圖形中線段和差作為等量關系）
解：（1）
設CD=3k，∴AD=5k
9. 已知：如圖所示，在矩形ABCD中，以AB為直徑作圓O切CD于F，連AC交圓O于P，PE⊥AB于E，AB=a，求PE的長。（利用幾何定理構造方程組）
略解：
10. 已知：如圖所示，△ABC內接于圓O，AD是圓O直徑交BC于E。求證：
略證：
11. 邊長為2的正方形ABCD的對角線交于O點，若CD、BA同時分別繞C點、B點逆時針旋轉到如圖所示位置形成四邊形A′BCD′，設A′C交BD′于點O′，若旋轉60°時，點O運動到O′所經過的路徑是線段還是曲線？長度是多少？（圖形運動中的相關計算）
分析與解答：如圖所示，當D以C為圓心，CD為半徑逆時針旋轉60°到達D′點時，A同樣地旋轉到A′點，此時O以BC中點M為圓心，OM長為半徑，旋轉到O′
12. 如圖所示，∠ABC=30°，D為切點，FG⊥AB于F，圓O圓心在AB上，連結
（1）求y與x的函數關系式；
（2）若S四邊形EDGF=5S△BED，確定FG與圓O的位置關系，并說明理由。
（線段、面積作為函數中的變量，圖中面積和差作為等量關系）
解：
當x=1時，即OF=1時，F為圓上一點，且FG⊥AB，所以F為切點，GF為圓O切線；當x=-5，不滿足題意，舍。
初三數學模擬練習（一）
一. 選擇題：（1~8題各3分，9~12題各4分）
1. 如果
，那么一定有（ ）
A. 
B.
C. 
D.
2. 下面計算正確的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 當
A. 2 B.
C.
D.
4. 若關于x的一元二次方程
有實數根，則k的取值范圍是（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
5. 關于x、y的方程組
只有一個實數解，那么a、b滿足的條件是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
6. 直角坐標平面上有一點P，點P到y軸的距離為2，點P的縱坐標為
，則P點坐標一定是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
7. 如果
時，函數
都是y隨x的增大而減小，那么（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
8. 若拋物線
的頂點在x軸上，則c值為（
）
A. 2 B.
0 C.
D.
9. 如圖所示，a、b、c、d的位置已經確定，則下列不等式中不成立的是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
10. 在
中，如果
，那么是（
）
A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 銳角三角形或鈍角三角形
11. 已知兩數a=16，b=4，則a與b的比例中項是（ ）
A. 4 B.
C.
8 D.
12. 若一個圓錐的側面積是底面積的2倍，則在這個圓錐的側面展開圖中，扇形圓心角的度數為（ ）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°
二. 填空題：（13~18題各3分，19、20兩題各4分）
13. 已知關于x的方程
的兩根之差是
，則m=______________。
14. 已知方程
的兩根為
，則
_____________。
15. 若分式方程
的增根為-1，則a=____________________。
16. 等腰三角形頂角的外角是100°，則它的一個底角是_____________________度。
17. 順次連結等腰梯形各邊中點所得的四邊形的對角線的長分別是5和8，則等腰梯形的面積是____________________。
18. 矩形的一條對角線長為
，這條對角線與一條邊夾角的余弦值為
，則矩形的面積是____________________
。
19. 半徑分別為1和2的兩圓交于A、B，過A點分別作兩圓的切線，恰好互相經過另一個圓圓心，則AB長為__________________。
20. 如果扇形的半徑為10，扇形的弧所對的圓周角為36°，那么扇形的弧長為__________。
試題答案
一. 選擇題
1. D 2. C 3. A 4. D
5. B 6. D 7. D 8. A
9. C 10. C 11. D 12. D
二. 填空題
13. 
14.
15. 
16.
50
17. 40 18. 8
19. 
20.
專題復習一
三角形重心 垂心 形內點的共性
盧婕
讀者都知道，三角形中三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的線段的長是對應中線長的
，即：如果G是△ABC三條中線AD、BE、CF的交點，那么
如圖1，從而可得：
這個結果說明三組線段的比的和為1，非常奇妙的是三角形的垂心也有類似的性質請看：
設H是△ABC三條高線AD、BE、CF的交點，因為
所以
更為奇妙的是三角形內的任意一點也有這樣的性質：
設Q是△ABC內任意一點，連結AQ、BQ、CQ并分別延長交對邊于D、E、F
過Q作QP∥AB，QH∥AC分別交BC于P、H，則：
又由于△DPQ∽△DBA及△QPH∽△ABC
可得：
所以
讀者看到這里，是不是感到：數學，真奇妙！
一類二次根式題的統一解法
趙春祥
若a、b、c為非負有理數。
都是同類二次根式，利用這一性質解題，對培養逆向思維大有好處。下面舉例說明。
例1 已知x、y都為正數，且
，求x+y的值。
解：因為只有同類二次根式才能合并，而
又
所以設
（a、b為正整數），
則有
即得a+b=3。
所以a=1，b=2
或a=2，b=1。
∴x=222，y=888
或x=888，y=222。
∴x+y=1110。
例2 若a、b、c為有理數，且等式
（ ）。
A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 不能確定
解：
而
因此，2a+999b+1001c=2000。
故選B。
例3 方程
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解：
考慮到x，y的對稱性得所求整數對為（0，336），（336，0），（21，189），（189，21），（84，84）。共有5對。
故選D。
例4 
（x，y）中，x+y的最大值是（ ）。
A.1189 B. 1517 C. 1657 D. 1749
解：已知等式可化為
由此可設
此時x+y=41（a2+b2）。
∵a、b為滿足等式a+b=7的正整數，
∴a=1，b=6或a=6，b=1時，
a2+b2有最大值為37。
則x+y的最大值為41×37=1517。
故選B。
例5 正整數a、m、n滿足
，則這樣的a、m、n取值（ ）
A. 有一組 B. 有二組 C. 多于三組 D. 不存在
解：將已知兩邊平方，得
，
根據有理數與無理數部分對應相等，
得：
∵m≥n，且m、n為正整數。
∴
（不滿足①，舍去）。
∴a=3。
故選A。
一元二次方程的整數根
于瑩
一元二次方程的整數根問題難度較大，是中考特別是競賽中的爬坡題型。本文舉例說明與一元二次方程整數根有關問題的解法。
例1. 已知方程
的兩根都是整數，試求整數a的值。
思路分析：當a取值不同時，方程的系數就隨之不同，方程的根的情況也就發生變化。究意什么情況下，方程的兩根都是整數呢？還是從根與系數的關系入手比較好。
解：設方程的兩整數根為
、
，根據根與系數關系得：
（1）＋（2）得：
所以
或
或
或
所以
或
或
或
因為
，所以
只有或符合題意，代入（2）得：
例2. 已知方程
有兩個不等的負整數根，則a的值是______。
思路分析：本題的條件在“整數根”的基礎上更進一步，變為“負整數根”，這對系數a有了更多的限制。另外，本題的a沒有說它是整數，難度更大了。應當抓住“負整數根”做文章。
解：
所以
依題意有：
、
均為負整數，符合此條件的僅有
。
例3. 設m為自然數，且
，若方程
的兩根均為整數，則m＝______。
思路分析：題目已給出m的范圍，再加上判別式應滿足的條件，可進一步對m加以限制，就不難求出符合條件的m值了。
解：
因為原方程的兩根均為整數，所以
必為完全平方數，且必為奇數的平方。于是由得
，在此范圍內的奇完全平方數只有25和49。
所以
或
所以
或
經檢驗，、24均符合題意。
誤區點撥：本題解法的最后一步檢驗雖一語帶過，但卻是一個必不可少的步驟。因為整系數一元二次方程的判別式是完全平方數只是該方程有整數根的必要條件，但不是充分條件。也就是說，
為完全平方數，并不能保證方程一定有整數根，所以說，必須進行檢驗。
一元一次方程解的討論
李月旺
解含有字母系數的一元一次方程，最后都要化成
的形式，它的解有三種不同的情況：
1. 當
時，方程有唯一解；
2. 當
時，方程有無數解；
3. 當
時，方程無解。
下面舉例予以分析說明。
例1. 解關于x的方程
解：當
，即
時，方程有唯一解：
當
，即
時，原方程可化為：
，方程無解
總結：此方程為什么不存在無窮解呢？因為只有當方程可化為
時，方程才能有無窮解，而當時，
；
時，，a不可能既等于-2又等于3。所以不存在無窮解。
例2. 解關于x的方程
解：原方程可化為
當
，即
時，方程有唯一解：
當
，即
時，方程有無數解
總結：此方程沒有無解的情況，因為方程可化為，而不會出現
的情形。
一些數學思想在解題中的應用
李光斗 趙國瑞
在直線，射線，線段這一部分內容中，滲透了許多重要的數學思想和方法，下面舉例說明。
一. 數形結合思想
例1. 同學們去公路旁植樹，每隔3m植一棵樹，問在21m長的公路旁最多可植幾棵樹？你可能會不假思索地在回答，三七二十一，可植樹7棵，那就錯了，結合圖形觀察后就知道了。
解：從圖1看，顯然可植8棵。
圖1
說明：對于這類題目要注意考慮線段的端點，否定容易出錯。
二. 方程思想
例2. 點D、E在線段AB上，且都在AB中點的同側，點D分AB為2：5兩部分，點E分AB為4：5兩部分，若DE=5cm，則AB的長為（ ）。
圖2
解：由題意，得如圖2所示，設AB=x，則
，由
，得
，解得
，即
。
三. 整體思想
例3. 已知：如圖3所示，C是線段AB上一點，點D、E分別是AC、CB的中點，若
，求線段DE的長。
圖3
解：∵D、E分別是AC、BC的中點
說明：解答本題的關鍵是逆用分配律得出待求線段和已知線段這個整體的關系。
四. 分類討論思想
例4. 已知線段AB=8cm，在直線AB上畫線段BC使它等于3cm，求線段AC的長。
圖4
分析：由于點C可能在線段AB上，也可能在線段AB外，因此需要分類討論。
解：當點C在線段AB上時，如圖4所示，
。
當點C在線段AB外時，如圖5所示，
。
圖5
因此線段AC長為5cm或11cm。
五. 歸納猜想思想
例5. （2001年江蘇無錫中考題）
根據題意，完成下列填空：如圖6所示，
與
是同一平面內的兩條相交直線，它們有一個交點，如果在這個平面內，再畫第3條直線
，那么這3條直線最多可有（ ）個交點；如果在這個平面內再畫第4條直線
，那么這4條直線最多可有（ ）個交點；由此我們可以猜想：在同一平面內，6條直線最多可有（ ）個交點。n（n為大于1的整數）條直線最多可有（ ）個交點（用含n的代數式表示）。
解：（1）畫圖觀察
圖6
（2）列表歸納
（3）猜想：
，……
于是，可猜想n條直線最多可有交點個數為：
于是，當
時，
個交點。
2006屆專題復習 新題型解析 探究性問題
傳統的解答題和證明題，其條件和結論是由題目明確給出的，我們的工作就是由因導果或執果索因。而探究性問題一般沒有明確的條件或結論，沒有固定的形式和方法，要求我們認真收集和處理問題的信息，通過觀察、分析、綜合、歸納、概括、猜想和論證等深層次的探索活動，認真研究才能得到問題的解答。開放性、操作性、探索性和綜合性是探究性問題的明顯特征。這類題目形式新穎，格調清新，涉及的基礎知識和基本技能十分廣泛，解題過程中有較多的創造性和探索性，解答方法靈活多變，既需要扎實的基礎知識和基本技能，具備一定的數學能力，又需要思維的創造性和具有良好的個性品質。
1. 閱讀理解型
這類題主要是對數學語言（也包括非數學語言）的理解和應用進行考查。要求能夠讀懂題目，理解數學語言，特別是非數學語言，并能進行抽象和轉化及文字表達，能根據引入的新內容解題。這是數學問題解決的開始和基礎。
例1. （1）據《北京日報》2000年5月16日報道：北京市人均水資源占有量只有300立方米，僅是全國人均占有量的
，世界人均占有量的
。問：全國人均水資源占有量是多少立方米？世界人均水資源占有量是多少立方米。
（2）北京市一年漏掉的水，相當于新建一個自來水廠。據不完全統計，全市至少有
個水龍頭、
個抽水馬桶漏水。如果一個關不緊的水龍頭，一個月能漏掉a立方米水；一個漏水馬桶，一個月漏掉b立方米水，那么一年造成的水流失量至少是多少立方米（用含a、b的代數式表示）；
（3）水源透支令人擔憂，節約用水迫在眉睫。針對居民用水浪費現象，北京市將制定居民用水標準，規定三口之家樓房每月標準用水量，超標部分加價收費。假設不超標部分每立方米水費1.3元，超標部分每立方米水費2.9元，某住樓房的三口之家某月用水12立方米，交水費22元，請你通過列方程求出北京市規定三口之家樓房每月標準用水量為多少立方米。
分析：本題是結合當前社會關注的熱點和難點問題――環保問題設計的題組，著重考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力，以及閱讀理解、檢索、整理和處理信息的能力，解好本題的關鍵是認真閱讀理解題意，剖析基本數量關系。
解：（1）
答：全國人均水資源占有量是2400立方米，世界人均水資源占有量是9600立方米。
（2）依題意，一個月造成的水流失量至少為
立方米
所以，一年造成的水流失量至少為
立方米
（3）設北京市規定三口之家樓房每月標準用水量為x立方米
依題意，得
解這個方程，得x=8
答：北京市規定三口之家樓房每月標準用水量為8立方米。
例2. 閱讀下列題目的解題過程：
已知a、b、c為
的三邊，且滿足
，試判斷的形狀。
解：
問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現錯誤？請寫出該步的代號：_______；
（2）錯誤的原因為：_________________________________；
（3）本題正確的結論為：___________________________。
分析：認真閱讀，審查每一步的解答是否合理、有據、完整，從而找出錯誤及產生錯誤的原因。
答：（1）C；（2）
也可以為零；（3）是等腰三角形或直角三角形。
例3. 先閱讀第（1）題的解法，再解第（2）題：
（1）已知
，p、q為實數，且
，求
的值。
解：
（2）已知
，m、n為實數，
，且
，求
的值。
分析：本題首先要求在閱讀第（1）題規范的解法基礎上，總結歸納出逆用方程根的定義構造一元二次方程，根據根與系數的關系求代數式值的方法，并加以應用。但這種應用并非機械模仿，需要先對第（2）題的第二個方程變形轉化，才能實現信息遷移，建模應用。
解：
且
由根與系數的關系可得
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