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1．設(shè)復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）

A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限        D．第四象限

2．某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生900人，高三年級(jí)有學(xué)生1500人,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查，則高二年級(jí)應(yīng)抽取的學(xué)生數(shù)為（    ）

A．180              B．240             C．480             D．720

3．“”是“”的（     ）條件

A．充分不必要     B．必要不充分    C．充要      D．既不充分也不必要

4．在邊長(zhǎng)為1的等邊中，設(shè)（    ）

  A．           B．          C．          D．

5．下列命題錯(cuò)誤的是（  ）

       A．命題“若，則中至少有一個(gè)為零”的否定是：“若，則都不為零”。

       B．對(duì)于命題，使得；則是，均有。

     C．命題“若，則方程有實(shí)根”的逆否命題為：“若方程無(wú)實(shí)根，則”。

D．“”是“”的充分不必要條件。

6．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長(zhǎng)為2的

等腰三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體

的體積是（     ）

A．      B．   C．      D．

7．直線與圓的位置關(guān)系是（   ）

    A．相離          B．相交           C．相切            D．不確定

8. 設(shè)集合，分別從集合和中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)和，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)，記“點(diǎn)落在直線上”為事件，若事件的概率最大，則的可能值為（    ）

A．2                 B．3                 C．1和3             D．2和4

9．已知是等差數(shù)列，，，則過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為（    ）

A．4              B．              C．－4                 D．－14

10. 已知函數(shù)的定義域?yàn)閇―2，，部分對(duì)應(yīng)值如下表。為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如右圖所示：

   ―2

   0

4

1

―1

1

若兩正數(shù)滿足，則的取值范圍是（    ）

A．         B．           C．          D．

第Ⅱ卷  非選擇題（共100分）

11. 函數(shù)的圖像在點(diǎn)M處的切線方程是,=          。

12. 已知流程圖如右圖所示，該程序運(yùn)行后，為使輸出的b值為，則循環(huán)體的判斷框內(nèi)①處應(yīng)填                    。

13. 以、為焦點(diǎn)的橢圓＝１（）上頂點(diǎn)P，

當(dāng)=120°時(shí)，則此橢圓離心率e的大小為      。

★（請(qǐng)考生在以下二個(gè)小題中任選一題作答，全答的以第一小題計(jì)分）

14. （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）極坐標(biāo)系中，曲線和相交于點(diǎn)，則＝        ．

15．（幾何證明選講選做題）如圖，圓O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的

切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD=2，AB =3．

則BD的長(zhǎng)為       ．

（★請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的指定區(qū)域內(nèi)作答，否則該題計(jì)為零分．）

16．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的周期和最大值；

（Ⅱ）已知，求的值．

17．（本小題滿分14分）

統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：．已知甲、乙兩地相距100千米。

       （Ⅰ）當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？

       （Ⅱ）當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

18．（本小題滿分12分）

   （1）在一個(gè)紅綠燈路口，紅燈、黃燈和綠燈的時(shí)間分別為30秒、5秒和40秒。當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，求不是紅燈的概率。

（2）已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)設(shè)集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為和，求函數(shù)在區(qū)間[上是增函數(shù)的概率。

19．（本小題滿分14分）

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

20．（本小題滿分14分）

若橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，⊙O的圓心在原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為，過(guò)⊙M上任一點(diǎn)P作⊙O的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B.

  (1) 求橢圓的方程；

（2）若直線PA與⊙M的另一交點(diǎn)為Q，當(dāng)弦PQ最大時(shí)，求直線PA的方程。

21．（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足（是常數(shù)且）。

(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，試證明；

(Ⅲ)設(shè)函數(shù)，，是否存在正整數(shù)，使對(duì)都成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

惠州市2009屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題

（文科）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

B

A

A

D

D

A

A

B

1、解析：，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選D。

2、解析：抽取學(xué)生數(shù)為（人），故選A。

3、解析： ，故選B。

4、解析：，故選A。

5、解析：命題的否定是只否定結(jié)論，∴選A.

6、解析：由三視圖知幾何體的直觀圖是半個(gè)圓錐， ，∴選D．

7、解析：圓心（0，0）到直線的距離，

圓的半徑為1，可能相切或相交。故選D。

8、解析：P點(diǎn)取法總共有9種，由圖知直線截距為2時(shí)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)最多；

∴選A．

9、解析：∵是等差數(shù)列，，，

∴，，∴，選A.

10、解析：由題意，函數(shù)的圖象大致如圖，

 ，

則由不等式組所表示的區(qū)域如圖所示，

的取值范圍即區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與

連線的斜率的取值范圍，，故選B。

二．填空題（本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只需選做其中一題，兩題全答的，只以第一小題計(jì)分．）

11、4     12、3（注:答題卷填的是也給5分）   13、   14、   15、4

11、解析：∵切點(diǎn)既在曲線上也在切線上，∴，，∴=4

12、解析：=1時(shí)進(jìn)入循環(huán)此時(shí)=2¹=2，=2時(shí)再進(jìn)入循環(huán)此時(shí)=2²=4，=3時(shí)再進(jìn)入循環(huán)此時(shí)=2⁴=16，∴=4時(shí)應(yīng)跳出循環(huán)，∴循環(huán)滿足的條件為，∴填3。

（注:答題卷填的是也給5分）

13、解析：當(dāng)=120°時(shí)，=30°，∴。∴填．

14、解析：在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和分別表示圓 和直線，作圖易知＝。

15、解析：由切割線定理得:， ， ，．

16．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）

＝．…………………………………………………… 3分

∴周期為，        …………………………………………………… 4分

最大值為6    …………………………………………………………………… 5分

（Ⅱ）由，得．………………… 6分

∴．     …………………………… 7分

∴，       ………………………………………………… 8分

即            ………… 9分

，    ………………………………………………………10分

∴．  …………………………………………………… 12分

17．（本小題滿分14分）

解：（I）當(dāng)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了小時(shí)，      ………………2分

       要耗油（升）。              ……4分

 答：當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。……6分

    （II）當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升，

         依題意得

…………8分

     令得 ………10分

         當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；

         當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。

當(dāng)時(shí)，取到極小值                ………………12分

         因?yàn)?sub>在上只有一個(gè)極值，所以它是最小值。

 答：當(dāng)汽車(chē)以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少為11.25升。…14分

18．（本小題滿分12分）

解：（1）基本事件是遇到紅燈、黃燈和綠燈，它們的時(shí)間分別為30秒、5秒和40秒，設(shè)它們的概率的分別為P₁，P₂，P₃，

所以不是紅燈的概率P=1- P₁= ………………… 6分

（2）∵函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為

要使在區(qū)間上為增函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)>0且       …………………………………………8分

若=1則=－1，

若=2則=－1，1；

若=3則=－1，1；                …………………………………………10分

∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5

∴所求事件的概率為            …………………………………………12分

19.(本小題滿分14分)

（1）證明：連結(jié)BD.在長(zhǎng)方體中，對(duì)角線.              ……………2分

又 E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)， ∴. ∴.    ……………4分

又B₁D₁平面，平面，∴EF∥平面CB₁D₁.     ……………7分

（2） 在長(zhǎng)方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

∴AA₁⊥B₁D₁.                                        ………………………9分

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，∴ B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.

又 B₁D₁平面CB₁D₁，∴平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．         ……………14分

20．（本小題滿分14分）

解：（1）由題意得： ，         ………………………4分

所以橢圓的方程為      …………………………………………6分

（2）由題可知當(dāng)直線PA過(guò)圓M的圓心（8，6）時(shí)，弦PQ最大，       ……8分

因?yàn)橹本�PA的斜率一定存在，設(shè)直線PA的方程為：y-6=k(x-8)      ……10分

    又因?yàn)镻A與圓O相切，所以圓心（0，0）到直線PA的距離為  ……11分

    即  可得              ……………………12分

所以直線PA的方程為：   …………14分

21．(本小題滿分14分)

解: (Ⅰ)由題意，，得∴  …………1分

當(dāng)時(shí)， ，

    ∴                      ………………3分

∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，∴  ………4分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，        …………………5分

∵，∴   …………………………………………………6分

即     …………………………………………………………………………7分

(Ⅲ)∵

     ＝

=      ………………………………9分

∵     ………………………………………………10分

      ∴＝ …12分

       由得 -------()

      ∵()對(duì)都成立 ∴  ∵是正整數(shù)，∴的值為1,2,3。

      ∴使對(duì)都成立的正整數(shù)存在，其值為：1，2，3.  ……14分