Question

“重力探礦”是常用的探測石油礦藏的方法之一。其原理可簡述如下：如圖，P、Q為某地區水平地面上的兩點，在P點正下方一球形區域內儲藏有石油，假定區域周圍巖石均勻分布，密度為；石油密度遠小于，可將上述球形區域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區重力加速度（正常值）沿豎直方向；當存在空腔時，該地區重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏差。重力加速度在原堅直方向（即PO方向）上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”。為了探尋石油區域的位置和石油儲量，常利用P點附近重力加速度反常現象。已知引力常數為G。

（1）“重力探礦”利用了“割補法”原理：如圖所示，在一個半徑為R、質量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為R/2的球形空穴后，剩余的陰影部分對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質點m的引力是多大?
（2）設球形空腔體積為V，球心深度為d（遠小于地球半徑），=x，利用“割補法”原理：如果將近地表的球形空腔填滿密度為的巖石,則該地區重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常值可通過填充后的球形區域對Q處物體m產生的附加引力來計算,式中M是填充巖石后球形區域的質量,求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常值（在OP方向上的分量）
（3）若在水平地面上半徑L的范圍內發現：重力加速度反常值在與（k>1）（為常數）之間變化，且重力加速度反常的最大值出現在半為L的范圍的中心,如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。

Answer 1

（1）；（2）；（3）；

試題分析:（1）把整個球體對質點的引力F看成是挖去的小球體對質點的引力F1和剩余部分對質點的引力F2之和，即F=F1+F2
填補上的空穴的完整球體對質點m的引力，挖去的半徑為R/2的小球的質量，對質點m的引力
挖去剩余部分對質點m的引力
（2）（1）如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石，則該地區重力加速度便回到正常值．因此，重力加速度反常可通過填充后的球形區域產生的附加引力①來計算，式中的m是Q點處某質點的質量，M是填充后球形區域的質量，M=ρV②．
而r是球形空腔中心O至Q點的距離，△g在數值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點處重力加速度改變的大小．Q點處重力加速度改變的方向沿OQ方向，重力加速度反常△g′是這一改變在豎直方向上的投影，聯立以上式子得
（3）由（2）結論可知：重力加速度反常△g′的最大值和最小值分別為
，，由題意重力加速度反常值在 與 （k>1）（ 為常數）之間變化可知：由題設有，
聯立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為
；