Question

【題目】已知函數.

(1)當a＝1時，求不等式f(x)＞2的解集；

(2)若對任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) .(2) [－1，2＋]．

【解析】

（1）對分情況討論，去絕對值處理，從而求解出結果；

（2）對任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，即求函數，根據絕對值不等式的性質可得f(x)的最小值為|a|，故原不等式等價于|a|≥a3－3a－3，分情況討論，進行求解。

(1)當a＝1時，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.

,當x≤1時，f(x)＝1－x＋2－x＝3－2x，

由f(x)＞2可得，

即

解得x＜；

,當1＜x≤2時，f(x)＝x－1＋2－x＝1，

此時f(x)＞2無解；

,當x＞2時，f(x)＝x－1＋x－2＝2x－3，

此時由f(x)＞2可得，

即，

解得x＞。

綜上，可得不等式f(x)＞2的解集為。

(2)因為f(x)＝|x－a|＋|x－2a|≥|(x－a)－(x－2a)|＝|a|，

故f(x)取得最小值|a|，

因此原不等式等價于|a|≥a3－3a－3。

，當a≥0時，有a≥a2－3a－3，

即a2－4a－3≤0，

解得2－≤a≤2＋，

此時有0≤a≤2＋；

，當a＜0時，有－a≥a2－3a－3，

即a2－2a－3≤0，

解得－1≤a≤3，

此時有－1≤a＜0。

綜上，可知a的取值范圍是[－1，2＋]。