Question

【題目】如圖，已知、，、分別為的外心，重心，.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）是否存在過的直線交曲線于，兩點且滿足，若存在求出的方程，若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（1）設點，利用重心的坐標公式得出點的坐標為，可得出點，由可得出點的軌跡的方程；

（2）由題意得出直線的斜率存在，并設直線的方程為，設點、，將直線的方程與曲線的方程聯立，并列出韋達定理，由，可得出代入韋達定理求出的值，即可得出直線的方程，此時，直線過點或，從而說明直線不存在.

（1）設點，則點，由于，則點.

由，可得出，化簡得.

因此，軌跡的方程為；

（2）當與軸重合時不符合條件.

假設存在直線，設點、.

將直線的方程與曲線的方程聯立，

消去得，由韋達定理得，.

，，，，得，

即，，

另一方面，得，解得.

則直線過點或，因此，直線不存在.