Question

【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F2，離心率為，A為橢圓C上一點，且AF2⊥F1F2，且|AF2|.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C的左右頂點為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線 l1，l2，橢圓C的一條切線l:y=kx+m(k≠0)與l1，l2交于M，N兩點，試探究是否為定值，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)是，理由見解析

【解析】

（1）設橢圓的焦距為，由已知可得點的橫坐標為，將代入橢圓可得，可得，再由離心率，結合，求出，即可求解；

（2）由（1）得l1:x=﹣2，l2:x=2，直線l方程與橢圓方程聯立，消去，得到關于的一元二次方程，，求出關系，求出直線l1，l2與直線l的交點坐標，求出，即可求出結論.

(1) 設橢圓的焦距為，根據題意，

A為橢圓C上一點，且AF2⊥F1F2，

點的橫坐標為，將代入橢圓可得，

且|AF2|，所以

解得a=2，b，橢圓的方程為：；

(2)由題設知l1:x=﹣2，l2:x=2，直線l:y=kx+m，

聯立，消去y，

得，

故，

l與11，l2聯立得M(﹣2，﹣2k+m)，N(2，2k+m)，又F2(1，0)，

所以(3，2k﹣m)(﹣1，﹣2k﹣m)

=﹣3﹣(2k﹣m)(2k+m)=﹣3﹣4k2+m2=0，

故為定值.