【題目】已知數列
的通項公式為
，其中
且
.
（1）若是正項數列，求
的取值范圍；
（2）若
，數列
滿足
，且對任意
，均有
，寫出所有滿足條件的的值；
（3）若
，數列
滿足
，其前n項和為
，且使
的i和j至少4組，
、
、……、中至少有5個連續項的值相等，其它項的值均不相等，求
，滿足的充要條件并加以證明.
【答案】（1）
（2）
（3）
證明見解析.
【解析】
（1）通過函數
是與x軸交于
兩點且開口向上的拋物線可知，只需知均在1的左邊即可；
（2）通過
化簡可知
，排除
可知
，此時可知對于
而言，當
時
單調遞減，當
時單調遞增，進而解不等式組
即得結論；
（3）通過
及
可知
，結合
可知
，從而可知
的最小值為5，通過
中至少5個連續的值相等可知，且其他值不相等
，進而可得
的值為8.
（1）由題意，
，，
使數列
為正項數列，則
，故的取值范圍是
（2）
當時，均單調遞增，不合題意
當時，對于可知，當時單調遞減，當時單調遞增，由題意可知
聯立不等式，解得
（3）
又
，
或
此時的
的四個值為1，2，3，4，故
又中至少5個連續的值相等
不妨設
，則
因為當
時，
，而使其他值不相等，則
故
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【題目】已知橢圓E:
過點(0,1)且離心率
.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設動直線l與兩定直線l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分別交于P,Q兩點.若直線l總與橢圓E有且只有一個公共點,試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.
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【題目】為響應綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”．其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車收費的標準由兩部分組成：①根據行駛里程數按1元/公里計費；②行駛時間不超過
分時，按
元/分計費；超過分時，超出部分按
元/分計費．已知王先生家離上班地點
公里，每天租用該款汽車上、下班各一次．由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間 
(分)是一個隨機變量．現統計了
次路上開車花費時間，在各時間段內的頻數分布情況如下表所示：
時間 |
|
|
|
|
頻數 |
|
|
|
|
將各時間段發生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為
分．（1）寫出王先生一次租車費用
（元）與用車時間（分）的函數關系式；（2）若王先生一次開車時間不超過分為“路段暢通”，設
表示3次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數，求的分布列和期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設點
分別是棱長為2的正方體
的棱
的中點．如圖，以
為坐標原點，射線
、
、
分別是
軸、
軸、
軸的正半軸，建立空間直角坐標系．
（1）求向量
與
的數量積；
（2）若點
分別是線段
與線段
上的點，問是否存在直線
，
平面
？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的通項公式為
，其中
，
、
.
(1)試寫出一組、
的值，使得數列中的各項均為正數.
(2)若
，
，數列
滿足
，且對任意的
(
)，均有
，寫出所有滿足條件的的值.
(3)若
，數列
滿足
，其前
項和為
，且使
(
、
，
)的和
有且僅有
組，
、
、…、中有至少
個連續項的值相等，其它項的值均不相等，求、的最小值.
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【題目】對于雙曲線
，若點P（x0，y0）滿足
，則稱P在
的外部，若點P（x0，y0）滿足
>1，則稱在的內部；
（1）若直線y=kx+1上的點都在C（1，1）的外部，求k的取值范圍；
（2）若C（a，b）過點（2，1），圓x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）內部及C（a，b）上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求b、r滿足的關系式及r的取值范圍；
（3）若曲線|xy|=mx2+1（m＞0）上的點都在C（a，b）的外部，求m的取值范圍．
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【題目】關于函數
，給出以下四個命題：（1）當
時，
單調遞減且沒有最值；（2）方程
一定有實數解；（3）如果方程
（
為常數）有解，則解得個數一定是偶數；（4）是偶函數且有最小值.其中假命題的序號是____________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C:
1(a>b>0)的左右焦點分別為F1，F2，離心率為
，A為橢圓C上一點，且AF2⊥F1F2，且|AF2|
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左右頂點為A1，A2，過A1，A2分別作x軸的垂線 l1，l2，橢圓C的一條切線l:y=kx+m(k≠0)與l1，l2交于M，N兩點，試探究
是否為定值，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，若在區間
內有且只有一個實數
，使得
成立，則稱函數在區間內具有唯一零點.
（1）判斷函數
在區間
內是否具有唯一零點，說明理由：
（2）已知向量
，
，
，證明
在區間
內具有唯一零點.
（3）若函數
在區間
內具有唯一零點，求實數
的取值范圍.
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