Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．
（1）若f（x）在x=﹣e處取得極值，求函數f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）在區間[﹣e2 ， ﹣e﹣1]上的最大值g（a）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ln（﹣x）+a，

由題意知x=﹣e時，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，

∴a=﹣1

∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e

令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0

∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函數，在（﹣e，0）上是減函數，

（2）解：f'（x）=ln（﹣x）+a，

∵x∈[﹣e2，﹣e﹣1]，

∴﹣x∈[e﹣1，e2]，

∴ln（﹣x）∈[﹣1，2]，

①若a≥1，則f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此時f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是增函數，

fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1

②若a≤﹣2，則f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此時f（x）在[﹣e2，﹣e﹣1]上是減函數，

fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2

③若﹣2＜a＜1，則令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a

∵f'（x）=ln（﹣x）+a是減函數，

∴當x＜﹣e﹣a時f'（x）＞0，當x＞﹣e﹣a時f'（x）＜0

∴f（x）在（﹣∞，﹣e）[﹣e2，﹣e﹣1]上左增右減，

∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，

綜上：

【解析】（1）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．（2）先研究f（x）在區間[﹣e2 ， ﹣e﹣1]上的單調性，再利用導數求解f（x）在區間[﹣e2 ， ﹣e﹣1]上的最大值問題即可，故只要先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值即得．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．