Question

【題目】已知橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)F重合，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(diǎn)（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E（m，0），使 恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知拋物線的焦點(diǎn) ，∴

又∵橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形，∴b=1，

∴橢圓的方程為

（2）解：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為：y=k（x﹣1）

代入橢圓方程，消去y，可得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則

∵

∴ =m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2= = =

= = …

當(dāng) ，即 時(shí)， 為定值

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，

由 可得 ，∴

綜上所述，當(dāng) 時(shí)， 為定值

【解析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c，再求出b的值，即可求橢圓的方程；（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．