Question

【題目】已知函數f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1， （Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間
（Ⅱ）若sin2x+af（x+ ）+1＞6cos4x對任意x∈（﹣ ， ）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由函數f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1， 可得：f（x）=4cosx（ sinx+ cosx）﹣1
= sin2x+2cos2x﹣1
= sin2x+cos2x
=2sin（2x+ ）
由 （k∈Z），
解得：
所以：f（x）的單調增區間為
（Ⅱ）由題意：當 時，
原不等式等價于a2cos2x＞6cos4x﹣sin2x﹣1，
即 恒成立
令 =
∵ ，當x=0時，cosx取得最大值，即cosx=1時，那么g（x）也取得最大值為 ．
因此， ．
【解析】（Ⅰ）先利用兩角和余差的基本公式和輔助角公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；（Ⅱ）求出f（x+ ）的值，帶到題設中去，化簡，求函數在x∈（﹣ ， ）的最值，即可恒成立，從而求實數a的取值范圍．