Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點，且PA=AB=AC=2，BC=2 ．

（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）如果如果N是棱AB上一點，且直線CN與平面MAB所成角的正弦值為 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結AC．因為在△ABC中，AB=AC=2， ，

所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC．

因為AB∥CD，所以AC⊥CD．

又因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．

因為AC∩PA=A，

所以CD⊥平面PAC．

（2）解：如圖，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．

則A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），因為M是棱PD的中點，所以M（﹣1，1，1）．

所以 ，

設 =（x，y，z）為平面MAB的法向量，

則 ，

令y=1，得平面MAB的法向量 =（0，1，﹣1），

因為N是在棱AB上一點，所以設N（x，0，0）， =（﹣x，2，0）．

因為直線CN與平面MAB所成角的正弦值為 ，

設直線CN與平面MAB所成角為α，

則sinα=|cos＜ ＞|= = = ，

解得x=1，即AN=1，NB=1，所以 =1．

【解析】（1）連結AC，由勾股定理得AB⊥AC，從而AC⊥CD，由線面垂直得PA⊥CD，由此能證明CD⊥平面PAC．（2）以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由直線CN與平面MAB所成角的正弦值為 ，利用向量法能求出 的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．