Question

【題目】已知曲線E上任意一點P到兩個定點 和 的距離之和為4，
（1）求動點P的方程；
（2）設過（0，﹣2）的直線l與曲線E交于C、D兩點，且 （O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據橢圓的定義，可知動點M的軌跡為橢圓

其中a=2， ，則 ，

所以動點P的軌跡方程為

（2）解：當直線l的斜率不存在時，不滿足題意，

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx﹣2，設C（x1，y1），D（x2，y2），

∵ ，

∴x1x2+y1y2=0，

∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，

∴y1y2=k2x1x2﹣2k（x1+x2）+4，

∴（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0①

由方程組

得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，

則 ， ，

代入①，得 ，

即k2=4，解得，k=2或k=﹣2，

所以，直線l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2

【解析】（1）根據題中條件：“距離之和為4”結合橢圓的定義，可知動點M的軌跡為橢圓，從而即可寫出動點M的軌跡方程；（2）先考慮當直線l的斜率不存在時，不滿足題意，再考慮當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx﹣2，設C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），由向量和數量積可得：x1x2+y1y2=0，由方程組 ，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系即可求得k值，從而解決問題．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的概念的相關知識點，需要掌握平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距才能正確解答此題．