Question

已知數列{x_n}滿足：x₁=

5

3

，x_n+1=

xn2+1

2xn

（n∈N^*）．記b_n=log₂（

xn-1

xn+1

）（n∈N^*）．
（1）求證：數列{b_n}成等比數列，并求數列{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=-nb_n（n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和公式T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等比數列的定義證明數列{b_n}成等比數列，求出數列{b_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法對數列求和即可．

解答： 解：（1）

xn+1-1

xn+1+1

=

x 2 n +1 2xn -1

x 2 n +1 2xn +1

=

x 2 n -2xn+1

x 2 n +2xn+1

=(

xn-1

xn+1

)2 …（2分）
于是log₂(

xn-1

xn+1

)2=2log₂（

xn+1-1

xn+1+1

），即b_n+1=2b_n，又由條件知x₁=

5

3

，
故b₁=log₂（

5 3 -1

5 3 +1

）=-2，
所以數列{b_n}成等比數列．于是b_n=-2ⁿ，
所以．數列{b_n}的通項公式為b_n=-2ⁿ．           …（5分）
（II）由（I）知，b_n=-2ⁿ，故c_n=n•2ⁿ，
T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，
于是-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹，…（10分）
即 T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
所以，數列{c_n}的前n項和公式T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．…（12分）

點評：本題主要考查利用等比數列的定義證明數列是等比數列及利用錯位相減法對數列求和知識，屬中檔題．