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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知
e1
，
e2
為互相垂直的單位向量，若向量λ
e1
+
e2
與
e1
+λ
e2
的夾角等于30°，則實數λ等于（　　）
A、±2
3
B、±
3
C、±
3
3
D、
3
或
3
3
考點：平面向量數量積的運算
專題：計算題,平面向量及應用
分析：由數量積定義可得（λ
e1
+
e2
）•（
e1
+λ
e2
）=|λ
e1
+
e2
|×|
e1
+λ
e2
|×cos30°，由數量積運算性質可得（λ
e1
+
e2
）•（
e1
+λ
e2
）=λ
e1
2+（λ2+1）
e1
•
e2
+λ
e2
2=2λ，先算平方可得|λ
e1
+
e2
|=|
e1
+λ
e2
|=
λ2+1
，代入等式可得λ方程．
解答： 解：∵
e1
，
e2
為互相垂直的單位向量，
∴|λ
e1
+
e2
|2=(λ
e1
)2+2λ
e1
•
e2
+
e2
2=λ2+1，|
e1
+λ
e2
|2=
e1
2+2
e1
•λ
e2
+(λ
e2
)2=λ2+1，
∴|λ
e1
+
e2
|=
λ2+1
，|
e1
+λ
e2
|=
λ2+1
，
而（λ
e1
+
e2
）•（
e1
+λ
e2
）=λ
e1
2+（λ2+1）
e1
•
e2
+λ
e2
2=2λ，
∴2λ=
λ2+1
×
λ2+1
×cos30°，整理得
3
λ2-4λ+
3
=0，解得λ=
3
或
3
3
，
故選D．
點評：本題考查平面向量數量積的定義及運算性質，考查學生運算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知實數x，y滿足約束條件
x-y+5≥0
x+y≥0
x≤3
，若y≥kx-3恒成立，則實數k的數值范圍是（　　）
A、[-
11
5
，0]
B、[0，
11
3
]
C、（-∞，0]∪[
11
5
，+∞）
D、（-∞，-
11
5
]∪[0，+∞）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設奇函數f（x）=cos（ωx+φ）-
3
sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
π
2
）的最小正周期為π，則ω，φ分別是（　　）
A、2，
π
3
B、
1
2
，
π
6
C、
1
2
，
π
3
D、2，
π
6

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知命題p：函數y=
|x+1|-2
的定義域是（-∞，-3]∪[1，+∞）；命題q：若a，b∈R，則|a+b|＜1是|a|+|b|＜1的充分而不必要條件，則下列命題中為真命題的是（　　）
A、p∧q
B、（￢p）∨q
C、p∨（￢q）
D、（￢p）∧（￢q）

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科目：高中數學 來源： 題型：

某企業計劃生產甲、乙兩種產品，生產甲、乙產品每噸需A原料、B原料及獲利情況如表．若該企業在一個生產周期內消耗A原料不超過26噸，B原料不超過36噸，那么該企業在一個生產周期內可獲得最大利潤是（　　）
  A原料 B原料 每噸獲利
甲 6噸 4噸 10萬元
乙 2噸 6噸 6萬元
A、24萬B、40萬
C、50萬D、54萬

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{xn}滿足：x1=
5
3
，xn+1=
xn2+1
2xn
（n∈N*）．記bn=log2（
xn-1
xn+1
）（n∈N*）．
（1）求證：數列{bn}成等比數列，并求數列{bn}的通項公式；
（2）記cn=-nbn（n∈N*），求數列{cn}的前n項和公式Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}中，a1=1，an•an+1=（
1
2
）n，記T2n為{an}的前2n項的和，bn=a2n+a2n-1，n∈N*．
（Ⅰ）判斷數列{bn}是否為等比數列，并求出bn；
（Ⅱ）求T2n．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設等差數列{an}的前n項和為Sn，且a4-a2=6，S10=-465．
（1）求等差數列{an}的通項公式an；
（2）求Sn的最小值，并求相應的n的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

證明：（1）對于任意n≥3，n∈N*，
1
1
+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n+1
；
（2）對于任意n≥2，n∈N*，
1
12
+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜2-
1
n
．

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