Question

【題目】如圖，有一塊邊長為1（百米）的正方形區域ABCD．在點A處有一個可轉動的探照燈，其照射角∠PAQ始終為45°（其中點P，Q分別在邊BC，CD上），設BP=t．
（I）用t表示出PQ的長度，并探求△CPQ的周長l是否為定值；
（Ⅱ）設探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S（平方百米），求S的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由BP=t，得CP=1﹣t，0≤t≤1，
設∠PAB=θ，
則∠DAQ=45°﹣θ，
DQ=tan（45°﹣θ）=，CQ=1﹣=，
∴PQ===，
∴l=CP+CQ+PQ=1﹣t++=1﹣t+1+t=2，是定值
（Ⅱ）S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1×1﹣×1×t﹣×1×，
=1﹣t﹣=1﹣t﹣（﹣1+），
=1+﹣﹣，
=2﹣（+），
由于1+t＞0，
則S=2﹣（+）≤2﹣2=2﹣，當且僅當=，即t=﹣1時等號成立，
故探照燈照射在正方形ABCD內部區域的面積S最多為2﹣平方百米．
【解析】（Ⅰ）由BP=t，得CP=1﹣t，0≤t≤1，設∠PAB=θ，則∠DAQ=45°﹣θ，分別求出CP，CQ，PQ即可得到求出周長l=2，問題得以解決；
（Ⅱ）根據S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ得到S=2﹣（+），根據基本不等式的性質即可求出S的最大值．
【考點精析】利用基本不等式在最值問題中的應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．