Question

【題目】已知為拋物線的焦點，過的動直線交拋物線于，兩點．當直線與軸垂直時，．

（1）求拋物線的方程；

（2）設直線的斜率為1且與拋物線的準線相交于點，拋物線上存在點使得直線，，的斜率成等差數列，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意可得，即可求出拋物線的方程，

（2）設直線的方程為，聯立消去，得，根據韋達定理結合直線，，的斜率成等差數列，即可求出點的坐標

解：（1）因為，在拋物線方程中，令，可得．

于是當直線與軸垂直時，，解得．

所以拋物線的方程為．

（2）因為拋物線的準線方程為，所以．

設直線的方程為，

聯立消去，得．

設，，，，則，．

若點，滿足條件，則，

即，

因為點，，均在拋物線上，所以．

代入化簡可得，

將，代入，解得．

將代入拋物線方程，可得．

于是點為滿足題意的點．