Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E，F分別是A₁C₁，BC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥B₁BCC₁；
（Ⅱ）求證：C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角,立體幾何

分析：（Ⅰ）證明AB⊥B₁BCC₁，可得平面ABE⊥B₁BCC₁；
（Ⅱ）證明C₁F∥平面ABE，只需證明四邊形FGEC₁為平行四邊形，可得C₁F∥EG；
（Ⅲ）利用V_E-ABC=

1

3

S△ABC•AA1，可求三棱錐E-ABC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直于底面，
∴BB₁⊥AB，
∵AB⊥BC，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面B₁BCC₁，
∵AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥B₁BCC₁；

（Ⅱ）證明：取AB中點G，連接EG，FG，則，
∵F是BC的中點，
∴FG∥AC，FG=

1

2

AC，
∵E是A₁C₁的中點，
∴FG∥EC₁，FG=EC₁，
∴四邊形FGEC₁為平行四邊形，
∴C₁F∥EG，
∵C₁F?平面ABE，EG?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；

（Ⅲ）解：∵AA₁=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB=

3

，
∴V_E-ABC=

1

3

S△ABC•AA1=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2=

3

3

．

點評：本題考查線面平行、垂直的證明，考查三棱錐E-ABC的體積的計算，正確運用線面平行、垂直的判定定理是關鍵．