Question

一盒中裝有9張各寫有一個數字的卡片，其中4張卡片上的數字是1，3張卡片上的數字是2，2張卡片上的數字是3，從盒中任取3張卡片．
（Ⅰ）求所取3張卡片上的數字完全相同的概率；
（Ⅱ）X表示所取3張卡片上的數字的中位數，求X的分布列與數學期望．（注：若三個數字a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數的中位數．）

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：常規題型

分析：第一問是古典概型的問題，要先出基本事件的總數和所研究的事件包含的基本事件個數，然后代入古典概型概率計算公式即可，相對簡單些；
第二問應先根據題意求出隨機變量X的所有可能取值，此處應注意所取三張卡片可能來自于相同數字（如1或2）或不同數字（1和2、1和3、2和3三類）的卡片，因此應按卡片上的數字相同與否進行分類分析，然后計算出每個隨機變量所對應事件的概率，最后將分布列以表格形式呈現．

解答： 解：（Ⅰ）由古典概型的概率計算公式得所求概率為
         P=

C 3 4 + C 3 3

C 3 9

=

5

84

，
（Ⅱ）由題意知X的所有可能取值為1，2，3，且
 P（X=1）=

C 2 4 C 1 5 + C 3 4

C 3 9

=

17

42

，
P（X=2）=

C 1 3   C 1 4   C 1 2 + C 2 3   C 1 6 +  C 3 3

C 3 9

=

43

84

，
 P（X=3）=

C 2 2   C 1 7

C 3 9

=

1

12

，
 所以X的分布列為：

X	1	2	3
P	17 42	43 84	1 12

所以E（X）=1×

17

42

+2×

43

84

+3×

1

12

=

47

28

．

點評：本題屬于中檔題，關鍵是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一問；第二問的只要是準確記住了中位數的概念，應該說完成此題基本沒有問題．