Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC上的射影D是AC的中點，BC=2AC=8，AB=4

5

．
（Ⅰ）證明：平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PD=2

3

，求二面角A-PB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（Ⅰ）要證平面PBC⊥平面PAC，可以證明平面PBC經過平面PAC的一條垂線BC，由已知點P在平面ABC上的射影D可知PD⊥BC，再通過三角形的邊的關系得到AC⊥BC．然后由線面垂直的判定定理得到證明；
（Ⅱ）以C為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，由二面角A-PB-C的兩個面的法向量所成角的余弦值求得二面角A-PB-C的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，

∵點P在平面ABC上的射影是AC的中點，
∴PD⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴PD⊥BC，
∵BC=2AC=8，AB=4

5

，
∴AB²=AC²+BC²，
故AC⊥BC．
又AC∩PD=D，
BC⊥平面PAC，BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，8，0），P（2，0，2

2

），

BP

=(2，-8，2

3

)，

AB

=(-4，8，0)，

CP

=(2，0，2

3

)，

CB

=(0，8，0)．
設平面PAB的法向量為

n

=(x1，y1，z1)，
由

n • BP =0 n • AB =0

，得

2x1-8y1+2 3 z1=0 -4x1+8y1=0

，
取y₁=1，則z1=2，x1=

2 3

3

，
∴

n

=(2，1，

2 3

3

)．
設平面PBC的一個法向量為

m

=(x2，y2，z2)，
由

m • CP =0 m • CB =0

，得

2x2+2 3 z2=0 8y2=0

，
取y₂=0，得z2=1，x2=-

3

，
∴

m

=(-

3

，0，1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=|

m • n

| m |•| n |

|=

2 19

19

．
∴二面角A-PB-C的平面角的余弦值為

2 19

19

．

點評：本題考查面面垂直的判斷，考查學生的空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求二面角的方法，是中檔題．