Question

如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=

2

．
（Ⅰ）證明：DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角B-AD-E的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角,立體幾何

分析：（Ⅰ）依題意，易證AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）作BF⊥AD，與AD交于點F，過點F作FG∥DE，與AE交于點G，連接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，則FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角，利用題中的數據，解三角形，可求得BF=

2 3

3

，AF=

2

3

AD，從而GF=

2

3

，cos∠BFG=

GF2+BF2-BG2

2BF•GF

=

3

2

，從而可求得答案．

解答： 證明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=

2

，
由AC=

2

，AB=2得AB²=AC²+BC²，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE，又DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）作BF⊥AD，與AD交于點F，過點F作FG∥DE，與AE交于點G，連接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，則FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD²=BC²+BD²，得BD⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，從而BD⊥AB，
由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．
在Rt△ACD中，由DC=2，AC=

2

，得AD=

6

；
在Rt△AED中，由ED=1，AD=

6

得AE=

7

；
在Rt△ABD中，由BD=

2

，AB=2，AD=

6

得BF=

2 3

3

，AF=

2

3

AD，從而GF=

2

3

，
在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分別可得cos∠BAE=

5 7

14

，BG=

2

3

．
在△BFG中，cos∠BFG=

GF2+BF2-BG2

2BF•GF

=

3

2

，
所以，∠BFG=

π

6

，二面角B-AD-E的大小為

π

6

．

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，同時考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力．