Question

【題目】已知函數f（x）＝2x，g（x）＝（4﹣lnx）lnx+b（b∈R）．

（1）若f（x）＞0，求實數x的取值范圍；

（2）若存在x1，x2∈[1，+∞），使得f（x1）＝g（x2），求實數b的取值范圍；

Answer 1

【答案】(1) （0，+∞） (2) [，+∞）

【解析】

（1）解指數不等式2x＞2﹣x可得x＞﹣x，運算即可得解；

（2）由二次函數求最值可得函數g（x）的值域為，函數f（x）的值域為A＝[，+∞），由題意可得A∩B≠，列不等式b+4運算即可得解.

解：（1）因為f（x）＞02x0，∴2x＞2﹣x，∴x＞﹣x，即x＞0．

∴實數x的取值范圍為（0，+∞）．

（2）設函數f（x），g（x）在區間[1，+∞）的值域分別為A，B．

∵f（x）＝2x在[1，+∞）上單調遞增，

又 ∴A＝[，+∞）．

∵g（x）＝（4﹣lnx）lnx+b＝﹣（lnx﹣2）2+b+4．

∵x∈[1，+∞），∴lnx∈[0，+∞），∴g（x）≤b+4，

即

依題意可得A∩B≠，

∴b+4，即b．

∴實數b的取值范圍為[，+∞）．