Question

【題目】已知四邊形是正方形，平面，平面，，為棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接、、，推出為等腰三角形，，，從而四邊形為平行四邊形，進而，推導出，，由此能證明平面．

（2）取的中點，連接、，為的中位線，，由平面，由此平面，從而斜線在平面內的射影為，直線與平面所成角為，能求出直線與平面所成角的正切值．

解：如圖所示：連接、、

（1）證明：四邊形是正方形，且

即為等腰三角形

又為棱的中點，得：

平面，平面，得：

又，則四邊形為平行四邊形

又正方形，

即為等腰三角形

又，，平面，平面

平面

（2）取的中點，連接、

點、分別為、的中點

為的中位線

又平面

平面

為斜線過點向平面的一條垂線，垂足為點，則斜線在平面內的射影為，直線與平面所成角為，設

由幾何關系可得：，

在中得：.