Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別是，，且橢圓經過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當取何值時，直線與橢圓有兩個公共點；只有一個公共點；沒有公共點？

Answer 1

【答案】（1）；（2）時，直線與橢圓有兩個公共點；或時，直線與橢圓只有一個公共點；或時，直線與橢圓沒有公共點.

【解析】

（1）根據橢圓的焦點，得到，將點代入橢圓方程，得到的方程，解出的值，從而得到答案；

（2）直線與橢圓聯立，根據與的關系，得到關于的不等式，得到答案.

（1）設橢圓的標準方程為，

因為橢圓的焦點分別是，，

所以，

將點代入橢圓方程得，

根據，得到，，

所以橢圓的標準方程為.

（2）直線與橢圓聯立，

，得，

則，

①當，即，解得，

方程有兩個不同的實數根，

即直線與橢圓有兩個公共點；

②當，即，解得或，

方程有兩個相同的實數根，

即直線與橢圓只有一個公共點；

③當，即，解得或，

方程沒有實數根，

即直線與橢圓沒有公共點；