Question

【題目】定義集合與集合之差是由所有屬于且不屬于的元素組成的集合，記作 且．已知集合．

（Ⅰ）若集合，寫出集合的所有元素；

（Ⅱ）從集合選出10個元素由小到大構成等差數列，其中公差的最大值和最小值分別是多少？公差為和的等差數列各有多少個？

（Ⅲ）設集合,且集合中含有10個元素，證明：集合中必有10個元素組成等差數列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2，4，8，16，32，64；（Ⅱ）只有1個，d=1有91個；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據題意，分析集合T的元素，結合M﹣N的含義分析可得答案；（Ⅱ）根據題意，由等差數列的性質分析公差的最大、最小值，據此分析等差數列的數目，相加即可得答案；（Ⅲ）根據題意，將集合S中元素列表，據此分析集合集合S﹣A中的元素，由反證法分析可得結論．

（Ⅰ）根據題意，集合 ， ;

則；

則集合 的所有元素是： 2，4，8，16，32，64；

（Ⅱ）當首項是1，末項是100時，公差最大為11，即 ．

這樣的數列只有1個：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100；

當選取的10個數是連續自然數時，公差最小為1，即d=1．

這樣的數列首項可以是1，2，3，…，91中的任何一個，

因此共有91個公差為1的等差數列；

（Ⅲ）將集合中元素列表如下：

1	2	3	…	10
11	12	13	…	20
21	22	23	…	30
┆	┆	┆	┆	┆
91	92	93	…	100

表中各行或各列的十個數分別構成等差數列．

假設存在含有10個元素的集合，使得 中不含10個元素組成的等差數列．

顯然每連續10個元素中必有集合中的唯一一個元素，即表的每行、每列中必有集合中的唯一一個元素．

記表中第行第列的數為．

若第 行中集合A的唯一元素為 ，則第行中， ，… 中必有集合A中元素．

若第行的第一個數在集合中，則此行余下九個數和下一行第一個數可以組成等差數列，與假設矛盾．

因此，第一列中集合的唯一元素只可能在第十行．

同理，若第行的第二個數在集合中，則此行余下八個數和下一行前兩個數可以組成等差數列，與假設矛盾．

因此，第二列中集合的唯一元素只可能在第九行．

依此類推，得 ．

此時，另一條對角線上的十個元素構成等差數列，與假設矛盾．

綜上，原命題成立．