Question

(本題滿分14分)．有一塊邊長為4的正方形鋼板，現對其切割、焊接成一個長方體形無蓋容器(切、焊損耗忽略不計)．有人應用數學知識作如下設計：在鋼板的四個角處各切去一個邊長為的小正方形，剰余部分圍成一個長方體，該長方體的高是小正方形的邊長．
(1)請你求出這種切割、焊接而成的長方體容器的的容積V₁（用表示）；
(2)經過設計（1）的方法，計算得到當時，V_l取最大值，為了材料浪費最少，工人師傅還實踐出了其它焊接方法，請寫出與（1）的焊接方法更佳（使材料浪費最少，容積比V_l大）的設計方案，并計算利用你的設計方案所得到的容器的容積。

Answer 1

略

(1)解：設切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為



4—2x，高為x，
∴V_l＝(4—2x)²x＝4(x³一4x²＋4x)  (0＜x＜2)　　    7分
(2) 能設計出比（1）的方案更佳的方案；          8分
具體如下：
如圖①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長方體容器．              11分
新焊長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，此長方體容積V₂＝3×2×1＝6，
顯然V₂＞V_l.                          13分
故第二種方案符設計得到的容積為6．   14分
第（2）問給分情況說明：
（1）本題是開放性習題，設計方案比較多，其它答案按相應分數給分；
（2）設計為錐體容器的得0分。
（3）設計的容器容積比V₁小的得0分）