Question

（本題滿分8分）
如圖，A₁A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，A₁A= AB=2.
（Ⅰ）求證: BC⊥平面A₁AC；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-ABC的體積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）時(shí)，三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為.   

證明:∵C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，且AB是圓柱底面圓的直徑，
∴BC⊥AC, ∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，∴AA₁⊥BC，
∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，ACÌ平面AA₁ C，
∴BC⊥平面AA₁C. （3分）
(2)設(shè)AC=x，在Rt△ABC中， (0<x<2) ,
故(0<x<2),　�。ǎ捣�）
即.
∵0<x<2，0<x²<4，∴當(dāng)x²=2，
即時(shí)，三棱錐A₁-ABC的體積的最大值為.　　（８分）