Question

（本小題滿分14分）下圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，平面，，且，
（1）求證：BE//平面PDA；
（2）若N為線段的中點，求證：平面；
（3）若，求平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角的大小.

Answer 1

（1）證明略；
（2）證明略；
（3）45°

（1）證明：∵，平面，平面
∴EC//平面,同理可得BC//平面----------------------------------------2分
∵EC平面EBC,BC平面EBC且 
∴平面//平面-----------------------------------------------------------------3分
又∵BE平面EBC  ∴BE//平面PDA-----------------------------------------------------4分
（2）證法1：連結AC與BD交于點F, 連結NF，
∵F為BD的中點，
∴且,--------------------------6分
又且
∴且
∴四邊形NFCE為平行四邊形-------------------------7分
∴
∵,平面,
面    ∴，
又
∴面    ∴面----------------------------------------9分

證法2：如圖以點D為坐標原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示：設該簡單組合體的底面邊長為1，
則,--------------------------------6分
∴,,
∵,，
∴---------------------------------8分
∵、面，且
∴面--------------------------------------------------------------------9分
（3）解法1：連結DN，由（2）知面
∴, ∵， ∴ ∴
∴為平面PBE的法向量，設，則 ∴=---11分
∵為平面ABCD的法向量，，---------------------------------------------12分
設平面PBE與平面ABCD所成的二面角為，
則------------------------------------------------13分
∴ 即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°--------------------14分
解法2：延長PE與DC的延長線交于點G,連結GB，
則GB為平面PBE與ABCD的交線--------------------10分
∵  ∴
∴D、B、G在以C為圓心、以BC為半徑的圓上，
∴-------------------11分
∵平面,面 
∴且
∴面 ∵面 
∴
∴為平面PBE與平面ABCD所成的二面角的平面角----------------------------13分
在中      ∵
∴＝45°即平面PBE與平面ABCD所成的二面角為45°----------------14分