Question

【題目】若數列A：a1 ， a2 ， …，an（n≥3）中ai∈N*（1≤i≤n）且對任意的2≤k≤n﹣1，ak+1+ak﹣1＞2ak恒成立，則稱數列A為“U﹣數列”．
（Ⅰ）若數列1，x，y，7為“U﹣數列”，寫出所有可能的x，y；
（Ⅱ）若“U﹣數列”A：a1 ， a2 ， …，an中，a1=1，an=2017，求n的最大值；
（Ⅲ）設n0為給定的偶數，對所有可能的“U﹣數列”A：a1 ， a2 ， …，an0 ， 記M=max{a1 ， a2 ， …，an0}，其中max{x1 ， x2 ， …，xs}表示x1 ， x2 ， …，xs這s個數中最大的數，求M的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵數列A：a1，a2，…，an（n≥3）中ai∈N*（1≤i≤n）且對任意的2≤k≤n﹣1，ak+1+ak﹣1＞2ak恒成立，則稱數列A為“U﹣數列”．

數列1，x，y，7為“U﹣數列”，

∴所有可能的x，y為 ， 或 ．

（Ⅱ）n的最大值為65，理由如下

一方面，注意到：ak+1+ak﹣1＞2akak+1﹣ak＞ak﹣ak﹣1

對任意的1≤i≤n﹣1，令bi=ai+1﹣ai，則bi∈Z且bk＞bk﹣1（2≤k≤n﹣1），故bk≥bk﹣1+1對任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（★）

當a1=1，an=2017時，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得bi=（bi﹣bi﹣1）+（bi﹣1﹣bi﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1≥i﹣1（2≤i≤n﹣1）

此時

即 ，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65

另一方面，取bi=i﹣1（1≤i≤64），則對任意的2≤k≤64，bk＞bk﹣1，故數列{an}為“U﹣數列”，

此時a65=1+0+1+2+…+63=2017，即n=65符合題意．

綜上，n的最大值為65．

（Ⅲ）M的最小值為 ，

證明如下：

當n0=2m（m≥2，m∈N*）時，

一方面：由（★）式，bk+1﹣bk≥1，bm+k﹣bk=（bm+k﹣bm+k﹣1）+（bm+k﹣1﹣bm+k﹣2）+…+（bk+1﹣bk）≥m．

此時有：（a1+a2m）﹣（am+am+1）=（bm+1+bm+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+bm﹣1）

=（bm+1﹣b1）+（bm+2﹣b2）+…+（b2m﹣1﹣bm﹣1）≥m（m﹣1）

故

另一方面，當b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，bm﹣1=﹣1，bm=0，bm+1=1，…，b2m﹣1=m﹣1時，

ak+1+ak﹣1﹣2ak=（ak+1﹣ak）﹣（ak﹣ak﹣1）=bk﹣bk﹣1=1＞0

取am=1，則am+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞am，am+1＜am+2＜…＜a2m，

且

此時 ．

綜上，M的最小值為 ．

【解析】（Ⅰ）將k=2和k=3分別代入ak+1+ak-12ak中得到線性約束條件，并找出其整點；（Ⅱ）（Ⅲ）構造新數列，使bi=ai+1ai.