Question

【題目】已知曲線C1的參數方程為 （t為參數），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2 sin（θ+ ）． （Ⅰ）求曲線C1與曲線C2的普通方程；
（Ⅱ）若點P的坐標為（﹣1，3），且曲線C1與曲線C2交于B，D兩點，求|PB||PD|．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由曲線C1的參數方程知：曲線C1是過點（﹣1，3）的直線， 相加消去參數t可得：曲線C1的普通方程為x+y﹣2=0．
曲線C2的極坐標方程為ρ=2 sin（θ+ ），
展開可得ρ2=2 ρ（sinθ+cosθ），
利用互化公式可得：曲線C2的直角坐標方程為x2+y2﹣2x﹣2y=0．
（Ⅱ）由判斷知：P在直線C1上，
將 代入方程x2+y2﹣2x﹣2y=0得： ，
設點B，D對應的參數分別為t1 ， t2 ，
則|PB|=|t1|，|PD|=|t2|，而t1t2=6，
∴|PB||PD|=|t1||t2|=|t1t2|=6
【解析】（Ⅰ）由曲線C1的參數方程知：曲線C1是過點（﹣1，3）的直線，相加消去參數t可得：曲線C1的普通方程．曲線C2的極坐標方程為ρ=2 sin（θ+ ），展開可得ρ2=2 ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式可得曲線C2的直角坐標方程．（Ⅱ）由判斷知：P在直線C1上，將 代入曲線C2的方程得： ，利用|PB||PD|=|t1||t2|=|t1t2|即可得出．