Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（1）當a=﹣1時，求函數f（x）的最大值和最小值．
（2）函數y=f（x）在區間[﹣5，5]上是單調函數，求實數a的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣1，f（x）=（x﹣1）2+1；

∴f（1）=1是f（x）的最小值，f（﹣5）=37是f（x）的最大值

（2）解：f（x）的對稱軸為x=﹣a；

∵f（x）在區間[﹣5，5]上是單調函數；

∴﹣a≤﹣5，或﹣a≥5；

∴a≥5，或a≤﹣5；

∴實數a的范圍為（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）

【解析】（1）求二次函數的最值、單調性，可以對二次函數方程使用配方法，使得函數的最值與單調性一目了然；（2）根據二次函數的開口方向、對稱軸與函數單調性的關系得到抽象函數的單調遞增與遞減區間，再結合題意列出不等式組，解不等式組求得實數a的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的單調性的相關知識，掌握注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種，以及對二次函數在閉區間上的最值的理解，了解當時，當時，；當時在上遞減，當時，．