Question

20．已知$|{\vec a}|=3，|{\vec b}|=4，\vec a•\vec b=-6\sqrt{3}$．求：
（Ⅰ）$\vec a與\vec b$的夾角θ；
（Ⅱ）$|{\vec a+\vec b}|$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據平面向量數量積的定義，求出cosθ的值即可得出夾角θ；
（Ⅱ）根據平面向量模長公式，即可求出$|{\vec a+\vec b}|$的大小．

解答 解：（Ⅰ）$|{\vec a}|=3，|{\vec b}|=4，\vec a•\vec b=-6\sqrt{3}$，
∴3×4×cosθ=-6$\sqrt{3}$，
解得cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又θ∈[0，π]，
解得θ=$\frac{5π}{6}$；
∴$\vec a與\vec b$的夾角θ為$\frac{5π}{6}$；
（Ⅱ）∵${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$
=3²+2×（-6$\sqrt{3}$）+4²
=25-12$\sqrt{3}$，
∴$|{\vec a+\vec b}|$=$\sqrt{25-12\sqrt{3}}$．

點評 本題考查了平面向量數量積求夾角和模長的應用問題，是基礎題．