Question

9．函數(shù)$y=\frac{sinθ-3}{cosθ+2}，θ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$的值域為（　　）

• A． $[{-2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，-2+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$
• B． $[{-2，-2+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}]$
• C． [-2，-1]
• D． $[{-2，-2+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$

Answer 1

分析 把函數(shù)y 看成P（cosθ，sinθ）與A（-2，3）兩點連線的斜率，P點的軌跡是圓心為原點的單位圓的一部分，
求出直線PA與圓相切時的斜率，結合圖形可得函數(shù)y的值域．

解答 解：記P（cosθ，sinθ），A（-2，3），
則y=k_PA=$\frac{sinθ-3}{cosθ+2}$，θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]；
其中P點的軌跡是圓心為原點的單位圓的一部分，
如圖所示：

當直線PA與圓相切時，設切線方程為y-3=k（x+2），
即 kx-y+2k+3=0，由d=$\frac{|2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得 k=-2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，或 k=-2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（不合題意，舍去），
當直線PA過點M（0，-1）時，k=$\frac{3-（-1）}{-2-0}$=-2，
綜上，y=k_PA∈[-2，-2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]，
即函數(shù)$y=\frac{sinθ-3}{cosθ+2}，θ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$的值域為[-2，-2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．
故選：D．

點評 本題考查了直線的斜率公式，點到直線的距離公式的應用問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合和轉化的數(shù)學思想．