Question

5．已知函數y=f（x）是R上的偶函數，滿足f（x+2）=f（x-2）+f（2），且當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-4，令函數g（x）=f（x）-m，若g（x）在區間[-10，2]上有6個零點，分別記為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆，則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=-24．

Answer 1

分析 求出f（x）的周期，利用周期作出f（x）的函數圖象，根據圖象和對稱性得出零點之和．

解答 解：∵f（x）是R上的偶函數，滿足f（x+2）=f（x-2）+f（2），
∴f（2）=f（-2）+f（2），∴f（2）=0．
∴f（x+2）=f（x-2），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）的周期為4．
作出f（x）在[-10，2]上的函數圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）在[-10，2]上有3條對稱軸x=-8，x=-4，x=0，
∴6個零點之和為2×（-8）+2×（-4）+2×0=-24．
故答案為：-24．

點評 本題考查了函數周期性和對稱性的應用，屬于中檔題．