Question

已知函數f（x）=2x³-3x²+3．
（1）求曲線y=f（x）在點x=2處的切線方程；
（2）若關于x的方程f（x）+m=0有三個不同的實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）當x=2時，f（2）=7
故切點坐標為（2，7）
又∵f′（x）=6x²-6x．
∴f′（2）=12
即切線的斜率k=12
故曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-7=12（x-2）
即12x-y-17=0
（2）令f′（x）=6x²-6x=0，解得x=0或x=1
當x＜0，或x＞1時，f′（x）＞0，此時函數為增函數，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數為減函數，
故當x=0時，函數f（x）取極大值3，
當x=1時，函數f（x）取極小值2，
若關于x的方程f（x）+m=0有三個不同的實根，則2＜-m＜3，即-3＜m＜-2
故實數m的取值范圍為（-3，-2）