Question

如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，ADE、CFD都是⊙O的割線，AC=AB，CE交⊙O于點G．
（Ⅰ）證明：AC²=AD•AE；
（Ⅱ）證明：FG∥AC．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,圓內接多邊形的性質與判定

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）利用切線長與割線長的關系及AB=AC進行證明．
（Ⅱ）利用成比例的線段證明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，從而兩直線平行．

解答： 證明：（Ⅱ）∵AB是⊙O的一條切線，切點為B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割線，
∴AB²=AD•AE，
∵AB=AC，
∴AD•AE=AC²．
（Ⅱ）由（Ⅱ）有

AD

AC

=

AC

AE

，
∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，
∴∠ADC=∠ACE，
∵圓的內接四邊形對角互補，
∴∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴FG∥AC．

點評：本題考查圓的切線、割線長的關系，平面的基本性質．解決這類問題的常用方法是利用成比例的線段證明角相等、三角形相似等知識．