Question

數列{a_n}、{b_n}的每一項都是正數，a₁=8，b₁=16，且a_n、b_n、a_n+1成等差數列，b_n、a_n+1、b_n+1成等比數列，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求a₂、b₂的值；
（Ⅱ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）記

1

cn

=

1

an

+

1

an+1

，證明：對一切正整數n，有

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜

3

8

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等差數列的性質,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由a_n、b_n、a_n+1成等差數列可得a₂=2b₁-a₁=24．由b_n、a_n+1、b_n+1成等比數列可得

a

2 2

=b1b2，代入已知條件得到a₂、b₂的值；
（Ⅱ）由a_n、b_n、a_n+1成等差數列，b_n、a_n+1、b_n+1成等比數列，得到2b_n=a_n+a_n+1，an+1=

bnbn+1

．聯立得到2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，由此可知數列{

bn

}是等差數列，由等差數列的通項公式求得b_n，進一步得到a_n；
（Ⅲ）把數列{a_n}的通項公式代入

1

cn

=

1

an

+

1

an+1

，整理后利用裂項相消法求其和，最后放縮得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n、b_n、a_n+1成等差數列，得2b₁=a₁+a₂，
又a₁=8，b₁=16，
可得a₂=2b₁-a₁=24．
由b_n、a_n+1、b_n+1成等比數列，
得

a

2 2

=b1b2，可得b2=

a 2 2

b1

=36；
（Ⅱ）解：∵a_n、b_n、a_n+1成等差數列，
∴2b_n=a_n+a_n+1…①．
∵b_n、a_n+1、b_n+1成等比數列，
∴

a

2 n+1

=bnbn+1，
∵數列{a_n}、{b_n}的每一項都是正數，
∴an+1=

bnbn+1

…②．
于是當n≥2時，an=

bn-1bn

…③．
將②、③代入①式，可得2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
因此數列{

bn

}是首項為4，公差為2的等差數列，
∴

bn

=

b1

+(n-1)d=2n+2，于是bn=4(n+1)2．
則an=

bn-1bn

=

4n2•4(n+1)2

=4n(n+1)．
當n=1時，a₁=8，滿足該式子，
∴對一切正整數n，都有a_n=4n（n+1）；
（Ⅲ）證明：∵

1

an

=

1

4n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

1

cn

=

1

an

+

1

an+1

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)．
于是

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=

1

4

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

4

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

8

．

點評：本題考查等差數列和等比數列的性質，考查了等差數列和等比數列通項公式的求法，訓練了裂項相消法求數列的和，訓練了放縮法證明不等式，屬難題．