Question

已知x＞0，y＞0，a=x+y，b=

x2-xy+y2

，c=λ

xy

，若a，b，c能作為三角形的三邊長，則正實數λ的范圍是

 

．

Answer 1

考點：不等式比較大小

專題：不等式的解法及應用

分析：利用三角形任意兩邊之和大于第三邊即可得出．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，a=x+y，b=

x2-xy+y2

，
∴a²-b²=3xy＞0，
∴a＞b．
∵a，b，c能作為三角形的三邊長，
∴b+c＞a且a+b＞c，
即

x2-xy+y2

+λ

xy

＞x+y，x+y+

x2-xy+y2

＞λ

xy

．
由x+y+

x2-xy+y2

＞λ

xy

，
可得左邊≥2

xy

+

xy

=3

xy

，
∴λ＜3．
由

x2-xy+y2

+λ

xy

＞x+y，
∴λ＞

x+y- x2-xy+y2

xy

=

3 xy

x+y+ x2-xy+y2

，
∵x+y+

x2-xy+y2

≥3

xy

，
∴λ＞1．
綜上可得：1＜λ＜3．
故答案為：1＜λ＜3．

點評：本題考查了三角形任意兩邊之和大于第三邊、不等式的解法、分母有理化，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．