Question

已知定義域為R的函數f（x）=

a-2x

2x+1

是奇函數．
（1）求a的值；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．
（3）若對于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＞0恒成立，求k的范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數是奇函數，建立條件關系即可求a的值；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．
（3）根據函數的奇偶性和單調性之間的關系，將不等式不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＞0進行轉化即可，求k的范圍．

解答： 解：（1）∵定義域為R的函數f（x）=

a-2x

2x+1

是奇函數．
∴f（0）=0，即f（0）=

a-1

2

=0，解得a=1，
即f（x）=

1-2x

2x+1

．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

2x1+1

-

1-2x2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，即2x2-2x1＞0，
即f（x₁）-f（x₂）=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．
（3）∵f（x）是奇函數，
∴不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＞0恒成立等價為f（t²-2t）＞-f（k-2t²）=f（2t²-k）恒成立，
∵f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．
∴t²-2t＜2t²-k，
即k＜t²+2t，
∵t²+2t=（t+1）²-1≥-1，
∴k＜-1．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用以及函數單調性的證明，利用函數的性質將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．