Question

圓M和圓P：x²+y²-2

2

x-10=0相內切，且過定點Q（-

2

，0）．
（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡方程；
（Ⅱ）斜率為

3

的直線l與動圓圓心M的軌跡交于A、B兩點，且線段AB的垂直平分線經過點（0，-

1

2

），求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）依題意，不難得到|MP|+|MQ|=2

3

，且2

3

大于|PQ|，轉化為橢圓定義，求出動圓圓心M的軌跡E的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程，代入橢圓方程，求出AB的中點，可得AB的垂直平分線方程，將（0，-

1

2

）代入，即可求直線l的方程．

解答： 解：（I）由已知|MP|=2

3

-|MQ|，即|MP|+|MQ|=2

3

，且2

3

大于|PQ|…（3分）
所以M的軌跡是以P，Q為焦點，2

3

為長軸長的橢圓，即其方程為

x2

3

+y2=1；       …（5分）
（II）設直線l的方程為y=

3

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線l的方程代入橢圓方程得10x²+6

3

mx+3m²-3=0…（6分）
∴x₁+x₂=-

3 3

5

m                                       …（7分）
∴AB的中點（-

3 3

10

m，

m

10

）                               …（8分）
∴AB的垂直平分線方程為y-

m

10

=-

3

3

（x+

3 3

10

m）          …（9分）
將（0，-

1

2

）代入得m=

5

6

                                  …（11分）
∴直線l的方程為y=

3

x+

5

6

．                           …（12分）

點評：本題考查圓與圓的位置關系，直線與橢圓的位置關系，橢圓的定義，是中檔題．